6-2二次型的标准形

上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强1nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,,设第二节、二次型的标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．),(cCij记记作则上述可逆线性变换可Cyx上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强2变成只含平方项后经可逆线性变换二次型定义,,1.2CyxAxxfT2222211nnykykyk的二次型，称为二次型的标准形。注意：标准形对应的矩阵是对角矩阵．因此，二次型化标准型的问题，就是矩阵与对角阵合同的问题．上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强3证于是即有为对称矩阵,,TAAATTTACCB.,,,,ARBRBAACCBCT且也为对称矩阵则矩阵为对称如果令任给可逆矩阵证明CACTT,BACCT,ACCBT,ARACRBR,11BCCAT又.1BRBCRAR.BRAR即为对称矩阵.B上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强4说明2222211nnTTykykykACyCy就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型,2Cyxf.,),,,(212121yyykkkyyynnn.成为对角矩阵也就是要使ACCT;,,1ACCBAfCyx.T变为的矩阵由但其秩不变后二次型经可逆变换上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强5有把此结论应用于二次型即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩,.,,,1AQQAQQQAT使得存在正交变换元二次型对于任一定理,,1.2QyxAxxfnT,2222211nnTTTyyyyAQQyAxxf正交特征向量。的单位对应于特征值个列向量是的个特征值，的实对称矩阵是其中nnAnQnA,,,,,,2121上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强6用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求出将二次型表成矩阵形式;,,,.221nA的所有特征值求出;,,,.321n征向量求出对应于特征值的特;,,,,,,,,,,,,.4212121nnnC记得单位化正交化将特征向量.,.52211nnyyffCyx的标准形则得作正交变换上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强7解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值144241422217A144241422217EA9182.,844141417323121232221化成标准形通过正交变换将二次型Qyxxxxxxxxxxf例2上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强8从而得特征值.18,9321得基础解系代入将,091xEA2．求特征向量得基础解系代入将,01832xEA,)0,1,2(2T.)1,0,2(3T.)1,1,21(1T上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强93．将特征向量正交化,11取,22,,,2223233得正交向量组.)1,54,52(3T,)0,1,2(2T,)1,1,21(1T上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强10,3,2,1,iiii令得,051522,3232311.4554544523.45503245451324525231Q所以4．将正交向量组单位化，得正交矩阵Q上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强11于是所求正交变换为,45503245451324525231321321yyyxxx.18189232221yyyf且有上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强12解例3.222222,434232413121化为标准形把二次型求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfQyx二次型的矩阵为,0111101111011110A它的特征多项式为上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强13.111111111111EA有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,1111111111111)1(EA有四行分别减去第一行三把二,,,上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强141000212022101111)1(EA1221)1(2.)1()3()32()1(322.1,34321的特征值为于是A,0)3(,31xEA解方程时当上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强15,11111得基础解系.1111211q单位化即得,0)(,1432xEA解方程时当,1111,1100,0011232可得正交的基础解系上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强16单位化即得21212121,212100,002121432qqq于是正交变换为yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf且有上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强17拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．定理2.2任何一个二次型都可通过非退化线性变换化为标准形。上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强181.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;ixixkkjijjiiyxyyxyyxjiknk,,,2,1且拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换0ija),(ji化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强19解32312123222162252xxxxxxxxxf.,62252323121232221并求所用的变换矩阵为标准形化二次型xxxxxxxxxf例431212122xxxxx322322652xxxx的项配方含有x1含有平方项2321xxx322322652xxxx3223222xxxx去掉配方后多出来的项上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强20322322232144xxxxxxx.22322321xxxxx3332232112xyxxyxxxy令3332232112yxyyxyyyx321321100210111yyyxxx上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强2132312123222162252xxxxxxxxxf.2221yy所用变换矩阵为.01,100210111CC注意:定理2.2说明任何一个二次型都可通过配上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强22,33212211yxyyxyyx令解,622323121xxxxxxf代入.842232312221yyyyyyf得.,622323121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型xxxxxxf例5由于所给二次型中无平方项，所以yyyxxx321321100011011即上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强23再配方，得.622223232231yyyyyf333223112yzyyzyyz令,233322311zyzzyzzy.622232221zzzf得zzzyyy321321100210101即上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强24所用变换矩阵为100210101100011011C.100111311.02C上一页下一页返回湘潭大学数学与计算科学学院王文强25作业P152-1532.(1);3.(1);