第15讲-等腰三角形

第15讲等腰三角形第15讲┃等腰三角形考点1角平分线的性质和判定┃考点自主梳理与热身反馈┃1.如图15－1，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是________．图15－14第15讲┃等腰三角形2．如图15－2，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的()A．高B．角平分线C．垂直平分线D．中线图15－2B第15讲┃等腰三角形[归纳总结]1．性质：角平分线上的点到角两边的距离________．2．判定：角的内部到角的两边距离相等的点在___________上．相等角平分线第15讲┃等腰三角形考点2垂直平分线的性质和判定1．点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝7，则PB＝________．2．如图15－3所示，用两根钢索加固直立的电线杆AD，若要使钢索AB与AC的长度相等，需加___________条件，理由是_____________________________________________．图15－37BD＝DC线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等第15讲┃等腰三角形[归纳总结]1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离________．2．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的______________上．相等垂直平分线第15讲┃等腰三角形考点2科学记数法、近似数1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为()A．20°B．40°C．50°D．80°2．等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是_______________．3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是________cm.A16cm或17cm8第15讲┃等腰三角形[归纳总结]1．定义：有两条边相等的三角形是________三角形．2．性质：(1)等腰三角形两底角_________；(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称：____________；(3)等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴．相等等腰三线合一第15讲┃等腰三角形考点4等腰三角形的判定1．如图15－4，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为()A．2B．3C．4D．52．如图15－5，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中共有等腰三角形的个数是()A．4B．5C．6D．7DC第15讲┃等腰三角形[归纳总结]1．定义判定：一个三角形中，如果有两条边________，那么这个三角形是等腰三角形．2．判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边________．相等相等第15讲┃等腰三角形考点4实数的大小比较151．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________．2．如图15－6，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．图15－633cm第15讲┃等腰三角形1．性质：等边三角形的各角都________，并且每一个角都等于________；等边三角形是轴对称图形，有________条对称轴．2．判定：(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形．相等60°360°[归纳总结]第15讲┃等腰三角形┃考向互动探究与方法归纳┃探究一等腰三角形边或角计算中的分类讨论例1等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为________．4或6第15讲┃等腰三角形[解析]由题知，4可能为底，也可能为腰，故要分两种情况讨论．当4为腰时，则底边为14－4－4＝6，故三边分别为4，4，6，符合三角形三边关系，故底为6；当4为底时，则腰为14－42＝5，故三边分别为5，5，4，符合三角形三边关系，故底为4.所以它的底为4或6.第15讲┃等腰三角形[中考点金]解题关键是明确此类题需分类讨论，且利用三角形三边关系注意检验各种情况是否成立．第15讲┃等腰三角形变式题已知等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角为()A．70°，40°B．55°，55°C．70°，40°或55°，55°D．以上都不对C第15讲┃等腰三角形例2[2012·黄冈]如图15－7，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为________°.探究二等腰三角形与角平分线或线段垂直平分线综合计算36第15讲┃等腰三角形[中考点金]三角形中出现线段垂直平分线时，可得到等腰三角形；等腰三角形与角平分线结合时常利用“三线合一”性质解题．第15讲┃等腰三角形变式题如图15－8，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC边于点D，AB＝5，BC＝6，则AD＝______．图15－84[解析]由等腰三角形的三线合一的性质知AD垂直平分BC，所以BD＝3，且△ABD为直角三角形，由勾股定理得AD＝AB2－BD2＝52－32＝4.故答案为4.第15讲┃等腰三角形例3如图15－9，等边三角形ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边三角形CDE，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8，求PQ的长．探究二等腰边角形第15讲┃等腰三角形[解析](1)由等边三角形性质可知AC＝BC，CD＝CE，进而可证∠ACD＝∠BCE，利用SAS可证两三角形全等．(2)已知三角形CPQ是等腰三角形，已知两腰求底，应想到添加辅助线作底边上的高，又由(1)知∠CBE＝∠CAO＝30°，所以可求等腰三角形底上的高，故可求底PQ的长．第15讲┃等腰三角形解：(1)证明：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝60°.∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE.(2)作CH⊥BQ交BQ于点H，则PQ＝2HQ，在Rt△BHC中，由已知和(1)得∠CBH＝∠CAO＝30°，∴CH＝4.在Rt△CHQ中，HQ＝CQ2－CH2＝52－42＝3，∴PQ＝2HQ＝6.第15讲┃等腰三角形[中考点金]等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等．在做题时，还要注意等边三角形在旋转过程中的不变量．第15讲┃等腰三角形变式题如图15－10，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝∠α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.试判断△COD的形状，并说明理由．图15－10第15讲┃等腰三角形解：△COD是等边三角形．理由：由旋转可得△BCO≌△ACD，∴OC＝CD，∠BCO＝∠ACD.又△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，即∠BCO＋∠OCA＝60°，∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝∠OCA＋∠BCO＝60°.又OC＝CD，则△OCD是等边三角形．第15讲┃等腰三角形┃考题自主训练与名师预测┃B1．[2013·徐州]若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为()A．80°B．50°C．40°D．20°第15讲┃等腰三角形2．如图15－11，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．无法确定图15－11B第15讲┃等腰三角形3．如图15－12，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是()A．43B．33C．23D.3图15－12C第15讲┃等腰三角形4．[2013·威海]如图15－13，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论错误的是()A．∠C＝2∠AB．BD平分∠ABCC．S△BCD＝S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点图15－13C第15讲┃等腰三角形5．[2013·白银]等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为________________．6，4或5，5[解析]当腰是6时，则另两边是4，6，且4＋66，满足三边关系定理；当底边是6时，另两边长是5，5，5＋56，满足三边关系定理，故该等腰三角形的另两边为：6，4或5，5.第15讲┃等腰三角形6．[2012·淮安]如图15－14，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝________．7．如图15－15，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为________．35°4第15讲┃等腰三角形8．[2012·广州]如图15－16，在等边三角形ABC中，AB＝6，D是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为_______．图15－162[解析]∵在等边三角形ABC中，AB＝6，∴BC＝AB＝6.∵BC＝3BD，∴BD＝13BC＝2.∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，∴△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2.第15讲┃等腰三角形9．如图15－17，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是________．18°[解析]由三角形的中位线知PE＝12AD，PF＝12BC.∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE＝18°.第15讲┃等腰三角形10．如图15－18，△ABC是等边三角形，D是AB边上一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE.求证：AE∥BC.第15讲┃等腰三角形证明：∵△ABC和△EDC是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°.∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠DBC＝∠EAC.又∵∠DBC＝∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠EAC.∴AE∥BC.第15讲┃等腰三角形1．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对B第15讲┃等腰三角形2．如图15－19，AC，BD相交于点O，AB∥DC，AB＝BC，∠D＝40°，∠ACB＝35°，则∠AOD＝________．75°