第16讲-直角三角形

第16讲直角三角形第16讲┃直角三角形考点1直角三角形┃考点自主梳理与热身反馈┃1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是()A．20B．10C．5D.522．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝6，则CD＝_____．C3第16讲┃直角三角形[归纳总结]1．性质：(1)直角三角形的两个锐角________；(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________；(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的_______．2．判定：(1)有一个角是________的三角形是直角三角形；(2)两个内角________的三角形是直角三角形；(3)一边上的中线等于这条边的________的三角形是直角三角形．互余一半一半直角互余一半第16讲┃直角三角形考点2勾股定理及其逆定理1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝9，b＝12，则c的长为()A．6B．9C．15D.632．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是()A．3，4，5B．6，8，10C.3，2，5D．5，12，13CC第16讲┃直角三角形[归纳总结]1．勾股定理：如果直角三角形两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝________.2．勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是________三角形．3．勾股数：能构成直角三角形三条边长的三个________．c2直角正整数第16讲┃直角三角形[归纳总结]1．定义判定：一个三角形中，如果有两条边________，那么这个三角形是等腰三角形．2．判定定理：等角对等边，即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边________．相等相等第16讲┃直角三角形┃考向互动探究与方法归纳┃探究一直角三角形性质在垂直关系计算中的应用例1如图16－1，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D点，E为垂足，连接CD，若BD＝1，求AC的长．图16－1第16讲┃直角三角形[解析]利用直角三角形两锐角互余，确定∠ACB的度数，再利用线段垂直平分线的性质，得到AD＝CD，所以∠A＝∠ACD＝30°，再求得∠BCD＝30°，进而解Rt△BCD，求得BC长，再在Rt△ABC中，利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求得AC长．第16讲┃直角三角形解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝30°.又∵∠ACB＝60°，∴∠BCD＝30°.在Rt△BCD中，BD＝1，∠DCB＝30°，∴DC＝2，由勾股定理得BC＝3.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝3，∴AC＝2BC＝23.第16讲┃直角三角形[中考点金]当题目中存在直角三角形时，注意根据题干给出的诸如30°角、斜边上的中点等信息选择合适的性质解决问题．第16讲┃直角三角形变式题将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图16－2，则三角板的最大边的长为()A．3cmB．6cmC．32cmD．62cm图16－2D第16讲┃直角三角形例2一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论．图16－3探究二勾股定理及其逆定理的计算与应用第16讲┃直角三角形[解析]在Rt△ACB和Rt△DCE中利用勾股定理来求如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线滑动的距离．第16讲┃直角三角形解：在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，AC＝AB2－BC2＝4(米)，DC＝4－1＝3(米)．在Rt△DCE中，DC＝3，DE＝5，CE＝DE2－DC2＝4(米)，BE＝CE－CB＝1.即梯子底端也滑动了1米．第16讲┃直角三角形[中考点金]勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．第16讲┃直角三角形变式题园丁住宅小区有一块草坪如图16－4所示．已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，求这块草坪的面积．第16讲┃直角三角形解：连接AC，由勾股定理得AC＝5米，因为AC2＋DC2＝AD2，所以∠ACD＝90°.这块草坪的面积＝SRt△ABC＋SRt△ACD＝12AB·BC＋12AC·DC＝12(3×4＋5×12)＝36(米2)．第16讲┃直角三角形┃考题自主训练与名师预测┃1．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，3，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有()A．②B．①②C．①③D．②③2．[2013·黔西南州]一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为()A．5B.7C.5D．5或7DD第16讲┃直角三角形3．直角三角形两直角边长为6和8，则此三角形斜边上的中线的长是()A．10B．5C．4D．34．如图16－5，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是()A．3.5B．4.2C．5.8D．7图16－5BD第16讲┃直角三角形5．[2013·资阳]如图16－6，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°.AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是()A．48B．60C．76D．80图16－6C[解析]阴影部分的面积＝正方形面积－直角三角形面积．正方形的边长是该直角三角形的斜边长，根据勾股定理可求，进而求解．第16讲┃直角三角形6．将一副直角三角板，按如图16－7所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________．图16－775°第16讲┃直角三角形7．如图16－8所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝258π，S2＝2π，则S3＝________．图16－898π第16讲┃直角三角形8．如图16－9，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.图16－915第16讲┃直角三角形9．如图16－10，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，若DA＝15km，CB＝10km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？图16－10第16讲┃直角三角形解：设AE＝x，则BE＝25－x.∵DA⊥AB于点A，在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2＋AE2＝DE2.∵CB⊥AB于点B，∴在Rt△ECB中，EB2＋BC2＝CE2.∵DE＝CE，∴DE2＝CE2，∴AD2＋AE2＝EB2＋BC2，∴152＋x2＝(25－x)2＋102，解得x＝10.答：E站应建在距A站10km处．第16讲┃直角三角形10．如图16－11，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝9，AC＝12，AD⊥BC，垂足为D.(1)求BC的长；(2)求BD的长．图16－11第16讲┃直角三角形[解析](1)因为已知在△ABC中，∠BAC＝90°，所以得到△ABC为直角三角形，且AB，AC为两直角边，因此根据勾股定理可求出BC的长．(2)AD⊥BC，垂足为D，可以利用面积法求出AD，在Rt△DBA中，利用勾股定理，可求得BD.第16讲┃直角三角形解：(1)在△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2＝92＋122＝81＋144＝225.∴BC＝15.(2)∵AD⊥BC，垂足为D，∴S△ABC＝12AC×AB＝12AD×BC.即12×12×9＝12×15×AD.∴AD＝365.在Rt△DBA中，BD＝AB2－AD2＝92－3652＝275.第16讲┃直角三角形11．如图16－12，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，求这只蚂蚁需要爬行的最短路程．(π取3)图16－12第16讲┃直角三角形[解析]先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．解：将图柱体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，AB＝122＋162＝20cm.第16讲┃直角三角形1．如图16－13是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13图16－13A第16讲┃直角三角形2．如图16－14，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5cm，则AE＝________cm.图16－143第16讲┃直角三角形[解析]∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＋∠BCD＝90°.∵CD⊥AB，∴∠BCD＋∠B＝90°，∴∠ECF＝∠B.在△ABC和△FEC中，∠B＝∠ECF，BC＝EC，∠ACB＝∠FEC＝90°，∴△ABC≌△FCE(ASA)，∴AC＝EF.∵AE＝AC－CE，BC＝2cm，EF＝5cm，∴AE＝5－2＝3(cm)．第16讲┃直角三角形3．如图16－15，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2014＝________．图16－152015