2020年春数学中考二轮专题复习课件2.专题14--较复杂的几何计算与证明第二课时

专题14较复杂的几何计算与证明01专题点拨重庆数学中考第25题是相关证明，考查学生对几何图形的性质、判定的正确理解和应用.前几年以四边形为主，2014年是以三角形为基础的证明，2018年是以四边形为基础的证明.三角形与四边形可以根据图形的特征进行转化，比如有30°、45°、60°等特殊角时，可由三角形构造平行四边形，也可将平行四边形转化为三角形.通过本专题的训练，培养学生对三角形有关的证明的能力，正确观察理解题目的含意，并根据所给条件、结合图形给出正确的证明过程.第2课时中点与2、3系数证明02考法示例与中点有关的证明类型1常见有“中点”“中线”“中位线”“垂直平分线”“特殊四边形对角线的交点”等.常用的方法有“等积法”“中位线性质”“三线合一”“中线二倍法”“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”等.示例1(2019·沙坪坝区)如图，平行四边形ABCD中，∠D＝108°，AB＝7厘米，AD＝6厘米，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE.(1)若∠DAF＝32°，求∠FAE的度数；(2)求证：AF＝CD+CF.［分析］(1)根据平行四边形的性质、平行线的性质证得∠DFA＝∠FAB＝40°；然后结合已知条件∠DFA＝2∠BAE求得∠FAE＝∠BAE，从而求得∠FAE的度数；(2)在AF上截取AG＝AB，连接EG，CG.利用全等三角形的判定定理SAS证得△AEG≌△AEB，由全等三角形的对应角相等、对应边相等知EG＝EB，∠AEG＝∠B；然后由中点E的性质、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质求得GF＝CF；最后根据线段间的和差关系证得结论.［解答］(1)解：∵∠D＝108°，∠DAF＝32°，∴∠DFA＝180°-∠D-∠DAF＝40°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DFA＝∠FAB＝40°.∵∠DFA＝2∠BAE，∴∠FAB＝2∠BAE.即∠FAE+∠BAE＝2∠BAE.∴∠FAE＝∠BAE，∴2∠FAE＝40°，∴∠FAE＝20°.(2)证明：在AF上截取AG＝AB，连接EG，CG.∵∠FAE＝∠BAE，AE＝AE，∴△AEG≌△AEB(SAS).∴EG＝EB，∠AGE=∠B.又E为BC中点，∴CE＝EB，∴EG＝CE，∴∠EGC＝∠ECG.∵AB∥CD，∴∠B+∠BCF＝180°.又∠AGE+∠EGF＝180°，∠AGE＝∠B，∴∠BCF＝∠EGF.又∠EGC＝∠ECG，∴∠FGC＝∠FCG，∴GF＝CF.又AG＝AB，AB＝CD，∴AF＝AG+GF＝AB+CF＝CD+CF.与2、3有关的证明类型2常见有“等边＋45°”“正方形影子”“等腰直角三角形”“60°或等边三角形”等.常用的方法有“对称”“旋转”“三线合一”“平行线法”“全等”“相似”“平行线分线段成比例”“2、3找特殊三角形”等.示例2(2019·重庆模拟)如图，▱ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是边AD上一点，且BE＝BC，BE交AC于点F，过点C作BE的垂线，垂足为点O，与AD交于点G.(1)若AB=2，求AE的长；(2)求证：BF＝CO+3EO.［分析］(1)过E作EP⊥BA交BA的延长线于于P，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝45°，BC＝BE＝2，根据平行线的性质得到∠PAE＝∠ABC＝45°，设AP＝PE＝a，得到AE=2a，根据勾股定理即可得到结论；(2)由(1)知，∠OBC＝30°，得到BF＝OB-OF=3OC-OE，过G作GH⊥BC于H，求出OE＝(2-3)OC，把OE＝(2-3)OC代入3OC-OE求得BF＝2(3-1)OC，代入求得CO+3EO＝2(3-1)OC，于是得到结论.［解答］(1)解：过E作EP⊥BA交BA的延长线于于P.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，BC＝BE＝2.∵AD∥BC，∴∠PAE＝∠ABC＝45°，∴设AP＝PE＝a，∴AE=2a.在Rt△EBP中，∵BP2+EP2＝BE2，∴(a+2)2+a2＝22，∴a=6−22，∴AE=3-1.(2)证明：作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N.则AM＝GH＝EN=12BC＝1，∴sin∠EBC=12，∴∠EBC＝30°，∴OC=12BC＝1，∴∠OBC＝30°.∵OC⊥BO，∴BO=3OC，∴BF＝OB-OF=3OC-OE.过G作GH⊥BC于H，∴GH＝EN＝OC=32CG=32(OC+OG)=32(OC+33OE)，∴OC=32(OC+33OE)，∴OE＝(2-3)OC，∴BF＝OB-OF=3OC-OE＝2(3-1)OC.∵CO+3EO＝OC+3(2-3)OC＝2(3-1)OC，∴BF＝CO+3EO.03精题精练1.(2019·沙坪坝区校级模拟)如图1，在▱ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE.(1)若AB＝26，AE＝4，求BE的长；(2)如图2，过C作CM⊥AD于M，F为AE上一点，CA＝CF，且∠ACF＝∠BAE，求证：AF+AB=2AM.(1)解：如图①，过A作AH⊥BC于H.在▱ABCD中，∠D＝∠B＝45°，AB＝26，∴AH＝BH＝23.∵AE＝4，∴EH=AE2−AH2=2，∴BE＝BH-EH＝23-2.(2)证明：如图②，在AM上截取MN＝MC，在△ACF内以AF为底边作等腰直角三角形AFP，连接CP，则∠CNM=45°,∴∠ANC=135°.∵∠AFC+∠FAC+∠ACF＝180°，∠B+∠FAC+∠BAE+∠CAN＝180°，∴∠AFC＝∠B+∠CAN＝45°+∠CAN.∵CA=CF,∴∠AFC=∠FAC.又∠FAC＝∠FAP+∠PAC＝45°+∠PAC，∴∠CAN＝∠PAC.∵CA=CF,CP=CP,AP=FP,∴△CAP≌△CFP(SSS)，∴∠APC＝∠FPC=360°−90°2=135°＝∠ANC.又AC=AC,∴△APC≌△ANC(AAS)，∴AP＝AN.∵∠D=45°,CM⊥AD,∴2MN=2MC=CD.∵AM＝AN+MN，∴2AM=2AN+2MN＝AF+CD＝AF+AB，即AF+AB=2AM.2.(2019春·沙坪坝区校级期中)如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，AE⊥BC于点E，F为EA延长线上一点，且BE＝EF，连接CF.(1)如图1，若AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，求AF的长度；(2)如图2，若CD⊥CF，求证：AD=2AC+AF.(1)解：∵AB⊥AC，AE⊥BC，∴∠BAC＝∠AEB＝90°，BC=AB2+AC2=42+32=5.由△ABC的面积得：AE=AB·ACBC=125，∴EF＝BE=AB2−AE2=165，∴AF＝EF-AE=165-125=45.(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，BC∥AD.∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠DAF＝90°.∵CD⊥CF，∴∠DCF＝90°，∴∠F＝∠D＝∠B.在△ABE和△CFE中，∠AEB=∠CEA=90°，BE=FE，∠B=∠F，∴△ABE≌△CFE(ASA)，∴AE＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE=22AC.∵AD＝BC＝BE+CE＝EF+AE＝2AE+AF，∴AD=2AC+AF.3.(2019春·北碚区校级期末)已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分別交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC.(1)若BE＝10，BC＝25，求DG的值；(2)连接HF，证明：HA=2HF-HE.(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝25，∠ABC+∠BAG＝180°.∵∠ABC＝∠BEH，∴∠CEB+∠ABC＝180°，∴∠BAG＝∠CEB.∵∠ABG+∠BEH＝90°，∠ECB+∠ABC＝90°，∴∠ABG＝∠ECB.在△BAG和△CEB中，∠BAG=∠CEB，∠ABG=∠ECB，BG=BC，∴△BAG≌△CEB(AAS)，∴AG=BE＝10，∴DG＝AD-AG＝25-10＝15.(2)证明：连接HF,过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N.∵△BAG≌△CEB，∴AB=CE.∵∠ABG+∠BAC＝∠ECB+∠ABC＝90°，∠ABG＝∠ECB，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC.∵CH⊥AB，∴∠ACH＝∠ECB＝∠ABG.在△ABF和△ECF中，∠BFA=∠CFE=90°，∠ABF=∠ECF，AB=CE，∴△ABF≌△ECF(AAS)，∴AF＝EF.∵∠HFN＝∠EFA＝90°，∴∠AFN＝∠EFH.∵∠BAC＝∠ABC，∠ABC＝∠BEH，∴∠NAF＝∠HEF.在△ANF和△EHF中，∠NAF=∠HEF，AF=EF，∠AFN=∠EFH，∴△ANF≌△EHF(ASA)，∴AN=HE，NF=HF，∴△HFN是等腰直角三角形，∴HN=2HF，∴HA+AN＝HA+HE=2HF，∴HA=2HF-HE.4.(2019·沙坪坝区模拟)如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M.点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN.(1)若AB=10，AC＝4，求BC的长；(2)求证：AD+AM=2DN.(1)解：∵∠ACB＝45°，AE⊥BC，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，△ACE是等腰直角三角形，∴∠EAC＝45°，AE＝CE=AC2=42=22.由勾股定理，得BE=AB2−AE2=10−8=2，∴BC＝BE+CE＝32.(2)证明：延长AD至G，使DG＝AM，连接CG.∵AM＝CN，∴DG＝CN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠ADC，∴DG∥CN，∴四边形CGDN是平行四边形，∴CG＝DN.∵CF⊥AB，∴∠CFB＝90°＝∠AEB＝∠CEM，∴∠BAE＝∠MCE.在△ABE和△CME中，∠BAE=∠MCE，AE=CE，∠AEB=∠CEM,∴△ABE≌△CME(ASA)，∴AB＝CM，∠B＝∠CME，∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，∴∠AMC＝∠GDC.在△ACM和△GCD中，AM=DG，∠AMC=∠GDC，CM=CD，∴△ACM≌△GCD(SAS)，∴∠MAC＝∠G＝45°.∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∴AG=2CG.∵AG＝AD+DG＝AD+AM，CG＝DN，∴AD+AM=2DN.5.(2019·北碚区校级一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，过点D作DE⊥AD交直线AC于点E，点O是对角线AC的中点，点F是线段AD上一点，连接FO并延长交BC于点G.(1)如图1，若AC＝4，cos∠CAD=45，求△ADE的面积；(2)如图2，点H为DC是延长线上一点，连接HF，若∠H＝30°，DE＝BG，求证：DH＝CE+32FH.(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠CAD＝∠ACB.∵AB⊥AC，∴cos∠CAD=45=cos∠ACB=ACBC=4BC，∴BC＝AD＝5.∵cos∠CAD=ADAE，∴5AE=45，∴AE=254.∴DE=AE2−AD2=154，∴S△ADE=12AD·DE=12×5×154=758.(2)证明：作FK⊥DH于K.∵∠H＝30°，∴∠HFK＝60°，∴HK＝FH·sin60°=32FH.连接BD，则OB＝OD.∵AD∥BC,∴∠OBG＝∠ODF.在△BOG和△DOF中，∠OBG=∠ODF，OB=OD，∠BOG=∠DOF，∴△BOG≌△DOF(ASA)，∴BG＝DF.∵DE＝BG，∴DE＝DF.∵AB⊥AC，AB∥CD，∴CD⊥AC，∴∠DCE＝∠FKD＝90°.∵∠CDE+∠CED＝90°，∠CDE+∠KDF＝90°，∴∠CED＝∠KDF.在△DCE和△FKD中，∠DCE=∠FKD，∠CED=∠KDF，DE=DF，∴△DCE≌△FKD(AAS)，∴CE=DK，∴DH＝DK+HK＝CE+32FH.6.(2018秋·沙坪坝区校级月考)如图，平行四边形A