线性代数—矩阵

工程数学线性代数目录•第一章：行列式•第二章：矩阵及其运算•第三章：矩阵的初等变换与线性方程组•第四章：向量组的线性相关性•第五章：相似矩阵及二次型•第六章：线性空间与线性变换第二章矩阵及其运算本章关键词：1.矩阵定义相等零矩阵对角矩阵数量、单位矩阵矩阵举例2.矩阵的运算矩阵的加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵3.逆矩阵定义性质伴随矩阵求逆公式方阵的逆阵性质4.矩阵分块法分块矩阵概念分块矩阵的运算本章知识结构由mn个数ija),,2,1;,,2,1(njmi，把它们排成行列的数表。mnmmnnaaaaaaaaa212222111211（1）称为m行n列矩阵．简称矩阵．（１）也简记为nmnmA,][ijanmija][或。矩阵的定义如果两个矩阵[],[]ijijabAB是同型矩阵，且各对应元素也相等，即ijijab),,2,1;,,2,1(njmi则称矩阵A与B相等，记作AB矩阵的相等零矩阵对nmA矩阵而言，零矩阵是指nm个元素全为0的矩阵．记作.mn00或．注不同型的零矩阵也是不同的。对角矩阵对角矩阵是指非零元素只可能出现在主对角线上（或非主对角元皆为零）的方阵．记作nnaaaaaadiag2121),,,(Λ数量、单位矩阵数量矩阵是指主对角线元素都相等，等于某个数的对角矩阵．记作kE或nkEkkkknE单位矩阵是指1k的数量矩阵．记作E或.nE例１（系数矩阵）由n个未知量m个方程组成的方程组为nnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111方程个数与未知量个数不一定相等，方程的系数构成矩阵[]ijmnaAmnmmnnaaaaaaaaa212222111211这个矩阵称为方程的系数矩阵．矩阵应用实例例２（通路问题）dcba,,,四个城市之间的火车交通情况如下图所示（图中单箭头代表只有单向车，双箭头表示有双向车）．1,0,ijijija从第个城市到第个城市有火车交通，从第个城市到第个城市没有火车交通。令0001001101001010dcbadcba到01010010B11001000即两个矩阵nm][],[ijijbaBA的和记作BA][ijijbaBA注只有同型矩阵才可以相加．例如8065312435180111273对任一矩阵][ijaA，规定][ijaA，显然，AA为的称负矩阵．定义矩阵的减法运算为)(BABA矩阵的加法数与矩阵相乘数与矩阵k][ijaA的数量乘积记作kAkA或][ijakkkAA矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算．矩阵的线性运算满足以下规律：ABBA)()(CBACBAAOAOAA)(AA1AA)()(kllkAAAlklk)(设[],[],ijmsijsnabABA和Ｂ的乘积AB是指一个nm的矩阵C＝AB＝nmijc][其中ijc是C的第i行第列的元素，它是jA的第i行与B的第j列的元素对应乘积的和．即sjisjijiijbababac2211skkjikba1),,2,1;,,2,1(njmi注只有当A的列数等于B的行数时，才能进行AB的乘法运算，这就是两个矩阵可进行乘法运算的条件．其结果AB的行数等于A的行数，列数等于B的列数．矩阵与矩阵相乘把nm矩阵A的行列依次互换得到的一个mn矩阵，称为A的转置矩阵，记作TA或A，即Amnmmnnaaaaaaaaa212222111211则TA112111222212mmnnmnaaaaaaaaa矩阵的转置转置矩阵具有下面性质：A)(ATTTTTBAB)(ATTAA)(kkTTTAB(AB)方阵的行列式n阶方阵A的各元素按原位置排列构成的行列式称为方阵的行列式，记作,A或)det(A方阵的行列式有下列性质（设BA,都是n阶方阵）:TAAAAnkkBAAB当A=为复矩阵时，用表示的共轭复数，ijaijaija记称为A的共轭矩阵.A共轭矩阵满足下述运算规律(设A，Ｂ为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）Ａ＋Ｂ＝Ａ＋ＢＡ＝ＡＡＢ＝ＡＢ共轭矩阵设A是n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使EBAAB则称A为可逆矩阵，矩阵B称为矩阵A的逆矩．阵，简称逆阵．注（1）由矩阵定义可知，可逆矩阵及其逆矩阵是同阶的方阵．矩阵若不是方阵则没有逆矩阵．（2）A与B的地位是平等的，故也可以称A是B的逆矩阵．逆矩阵的定义定理1如果矩阵逆矩阵的性质A可逆，那么A的逆矩阵是唯一的．伴随矩阵设有n阶矩阵,A是A中元素ija的代数余子式，nnn2n12n22211n1211AAAAAAAAA即用A的行列式中每个元素的代数余子式构成的矩阵，称为矩阵A的伴随矩阵，简称为伴随阵，记作*A定理2阶矩阵n可逆的充分必要条件是0A且：*1AA1A，方阵的逆阵性质方阵的逆阵有以下性质：定理3设都是阶方阵，则BA,n（1）若可逆，则也可逆，且；A1AA)(A11（2）若可逆，，则可逆，且；A0kAk111)(AAkk（3）若都是阶可逆矩阵，则也是可逆；BA,nAB111AB(AB)（4）若可逆，则可逆，且；ATAT1T)(AA1)(（5）若可逆，则．A||1||AA1矩阵，且分块矩阵的概念对矩阵，把行分成组，列分成组，每组中的行数或列数可以不同，nmAmsnt把矩阵分割成个小块，就得到的一个分块矩阵，写成AstAtsstssttAAAAAAAAA212222111211其中，（）称为的子块．klAtlsk,,1;,,1A注：同一个矩阵，根据需要可以采用多种分块方法，构成形式不同的分块矩阵．例如12003018573010454121A分成子块的分法有很多，下面举出三种分块形式：120030185730104541211200301857301045412112145401037581030021分块矩阵的运算（1）分块矩阵的加法．设分块矩阵，，如果与对应的子块与都是同型矩阵，则tskl][AAtskl][BBABklAklBtsklkl][BABA（2）分块矩阵的数量乘法．tskl][AAktsklkk][AA设分块矩阵，是数，则（3）分块矩阵的乘法运算．设，，如果矩阵与矩阵的nmija][Apnijb][BABAB分块方法是“恰当”的，亦即的列的分法与的行的分法完全相同rsr2r12s22211s1211AAAAAAAAAAsts2s12t22211t1211BBBBBBBBBB其中，，的列数等于，，的1iA2iAisA,j1Bj2BsjB,rtr2r12t22211t1211CCCCCCCCCABCkjskikijBAC1tjri,,2,1;,,2,1行数，那末其中（）（4）分块矩阵的转置设矩阵分块为Arsr2r12s22211s1211AAAAAAAAAA则rsT2sT1sTr2T22T12Tr1T21T11TTAAAAAAAAAA注分块矩阵转置时，不仅整个分块矩阵按块转置，而且其中每一块都要同时转置．例如，则232221131211BBBBBBBT23T13T22T12T21T11TBBBBBBB(5)分块对角矩阵设阶矩阵适当分块后得分块矩阵nAs21AAAA其中各为阶方阵，这种分块矩阵称为分块对角矩阵．iA),,2,1(sin对于分块对角矩阵有以下结论：|s21A||A||A||A|（1）（2）分块对角矩阵可逆的充分必要条件是均可逆，这时AiA),,2,1(si1s12111AAAA矩阵矩阵的定义矩阵的运算性质矩阵的加法相等数与矩阵相乘矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵特殊矩阵零矩阵对角矩阵数量、单位矩阵逆矩阵定义性质伴随矩阵求逆公式方阵的逆阵性质矩阵分块法分块矩阵概念分块矩阵的运算1.设f(x)=3-7x-x2，A=，求f(A)7-0215-1043解由2133246291220849A得2()37fAEAA334013324371516291232072084932113283241144763352971219514208349496832．设P＝，Q＝（4－23），A＝PQ，求A100523解因－12－4＋15＝－13(4,2,3)25QP故100100()APQPQPQPQPQ9999[](1)PQPQPQPQ由,得3126924238465201015PQ1001269846201015APQ3.求矩阵方程中的矩阵Ｘ：X=1-21-1321111-01-13710-2-36-1111011632111211073123111331163241121107333110X解：11133-44515041=1217541331104.求矩阵的逆阵14-52-431-21解：1121420134213612541321422101313221671５.讨论对角矩阵的可逆性．12naaaΛ解当时，．此时，矩阵可逆，021naaa0ΛΛnaaa111211且:当时，矩阵不可逆．021naaaΛ6.设，其中Ｂ、Ｃ各为ｓ阶和ｔ阶可逆方阵，证明Ａ可逆，并求Ａ-1．CODBA证明由．因为Ｂ、Ｃ可逆，所以，从而Ａ是可逆方阵．|C||B||A|0||A设，得QSRPA1QSRPCODBAA1BPDSBRDRCSCQtsEOOE比较最后一个等式的两边得ODQBROCStECQ在CQ=E两边左乘C-1得Q=C-1在CS=O两边左乘C-1得S=OsEBPDSBP在BP=E两边左乘B-1得P=B-1，或，这个等式两边ODCBRDQBR11DCBR1D