2-专题研究

高考调研第1页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习专题研究函数模型及其应用高考调研第2页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解题组层级快练高考调研第3页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习专题讲解高考调研第4页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型一二次函数模型例1某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．高考调研第5页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，则当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？高考调研第6页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)每吨平均成本为yx(万元)．则yx＝x5＋8000x－48≥2x5·8000x－48＝32，当且仅当x5＝8000x，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元．高考调研第7页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)设可获得总利润为R(x)万元．则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8000＝－x25＋88x－8000＝－15(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．高考调研第8页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元(2)年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元高考调研第9页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．高考调研第10页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表所示：(单位：万美元)思考题1项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120高考调研第11页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,8]．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你作出规划．高考调研第12页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，得生产A，B两种产品的年利润y1，y2分别为y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20(x∈N,0≤x≤200)，y2＝18x－(40＋8x)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40(x∈N,0≤x≤120)．(2)因为6≤m≤8，所以10－m0，函数y1＝(10－m)x－20在[0,200]上是增函数．所以当x＝200时，生产A产品有最大利润为(10－m)×200－20＝1980－200m(万美元)．高考调研第13页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习又y2＝－0.05(x－100)2＋460(x∈N,0≤x≤120)，所以当x＝100时，生产B产品有最大利润为460万美元．因为y1max－y2max＝1980－200m－460＝1520－200m0，6≤m7.6，＝0，m＝7.6，0，7.6m≤8.所以当6≤m7.6时，可投资生产A产品200件；当m＝7.6时，生产A产品与生产B产品均可；当7.6m≤8时，可投资生产B产品100件．高考调研第14页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)y1＝(10－m)x－20(x∈N,0≤x≤200)y2＝－0.05x2＋10x－40(x∈N,0≤x≤120)(2)当6≤m7.6时，可投资生产A产品200件；当m＝7.6时，生产A产品与生产B产品均可；当7.6m≤8时，可投资生产B产品100件高考调研第15页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习例2某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．题型二分段函数模型高考调研第16页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．高考调研第17页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f(t)＝2t，0≤t≤30，－6t＋240，30t≤40.图②是一个二次函数的部分图像，故g(t)＝－320t2＋6t(0≤t≤40)．高考调研第18页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)＝3t，0≤t≤20，60，20t≤40.故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为F(t)＝3t－320t2＋8t，0≤t≤20，60－320t2＋8t，20t≤30，60－320t2＋240，30t≤40.高考调研第19页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习当0≤t≤20时，F(t)＝3t(－320t2＋8t)＝－920t3＋24t2.∴F′(t)＝－2720t2＋48t＝t(48－2720t)≥0.∴F(t)在[0,20]上是增函数．∴F(t)在此区间上的最大值为F(20)＝60006300.当20t≤30时，F(t)＝60(－320t2＋8t)．由F(t)＝6300，得3t2－160t＋2100＝0.解得t＝703(舍去)或t＝30.高考调研第20页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习当30t≤40时，F(t)＝60(－320t2＋240)．由F(t)在(30,40]上是减函数，得F(t)F(30)＝6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，为上市后的第30天．【答案】(1)f(t)＝2t，0≤t≤30，－6t＋240，30t≤40g(t)＝－320t2＋6t(0≤t≤40)(2)当上市后的第30天满足题意高考调研第21页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．高考调研第22页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；思考题2高考调研第23页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.所以y＝14.4x，0≤x≤45，20.4x－4.8，45x≤43，24x－9.6，x43.高考调研第24页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增；当x∈[0，45]时，y≤f(45)26.4；当x∈(45，43]时，y≤f(43)26.4；当x∈(43，＋∞)时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨；付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．高考调研第25页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)y＝14.4x，0≤x≤45，20.4x－4.8，45x≤43，24x－9.6，x43(2)甲户用水量为7.5吨，付费17.70元乙户用水量为4.5吨，付费8.70元高考调研第26页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习例3某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．(1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210)题型三指数函数的模型高考调研第27页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】高考调研第28页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)，2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)＝100×(1＋1.2%)3.…x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*)．高考调研第29页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.0121.20≈16(年)．因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人．【答案】(1)y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N*)(2)112.7万人(3)16高考调研第30页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究3此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝