古代数学趣题欣赏

古代趣题（一）远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问各层几盏灯？【解说】这是明代数学家程大位编写的一道著名诗题。题目的意思可以是：有一座高大雄伟的宝塔，共有七层。每层都挂着红红的大灯笼。各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏。问：这个宝塔每层各有多少盏灯？显然，这宝塔的灯是上少下多的。现在设从上到下的第一层（最上层）的盏数为1，则第二层至第七层（在地面的一层）的盏数就分别是1×2=2，2×2=4，4×2=8，8×2=16，16×2=32，32×2=64。总的份数就是（1+2+4+8+16+32+64）=127份，故每一份的盏数（即最上层的盏数）是381÷（1+2+4+8+16+32+64）=381÷127=3（盏）从上到下的第二层盏数是3×2=6（盏）；第三层盏数是6×2=12（盏）；第四层盏数是12×2=24（盏）；第五层盏数是24×2=48（盏）；第六层盏数是48×2=96（盏）；第七层（地面上的一层）盏数是96×2=192（盏）。（答略）（二）三百七十八里关，初行健步不为难；此后脚痛递减半，六朝才能到边关。请君仔细算一算，每日里数各若干？【解说】这是一道在我国民间广泛流传的著名数诗算题，在题目中，“六朝”即“6日”的意思。诗题的意思可以作如下的叙述：从某地到某一边关的路程为378里，某人第一天行了若干里。他自第二日开始，每天行的路程都是前一天路程数的一半。这样经过了6日，他才到达目的地。他每天行的路程各是多少里？解答时，我们可以假定第六天行的里数为“1份”，那么，其他天数所行里数便是第五天――1×2=2（份）第四天――2×2=4（份）第三天――4×2=8（份）第二天――8×2=16（份）第一天――16×2=32（份）这六天行程的总份数就是1+2+4+8+16+32=63（份）因为六天行的总路程数为378里，而这路程已经分成了63份，所以每一份的里数便是378÷63=6（里）于是，每天行的里数就是第一天：6×32=192（里）；第二天：6×16=96（里）；第三天：6×8=48（里）；第四天：6×4=24（里）；第五天：6×2=12（里）；（三）一百馒头一百僧，大僧三个更无增；小僧三人分一个，大小和尚各几丁？【解说】明代大数学家程大位著的《算法统宗》中记载的。意思是把100个馒头分给100个和尚。大和尚每人分3个馒头，小和尚三人分得1个馒头，大和尚、小和尚各有多少人？方法一：这题可用假设法求解。现假设大和尚100个，（3×100－100）÷（3－1÷3）＝75（人）…………小和尚人数100－75＝25（人）大和尚人数方法二：把一个大和尚和一个小和尚当成一组，100÷（3+1）=100÷4=25（组）这25也就是大和尚的人数，再用总人数100减去大和尚人数25，100-25=75（人）得到小和尚有75人。（四）有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日字数翻一倍，问君每日读多少。（《孟子》全书34685字）、【解说】这也是明代数学家程大位编写的一道诗题，记录在他的名著《算法统宗》上。这一诗题的意思是：有一个读书人的记忆力很强，《孟子》这部古籍他只用3天就读熟了。从第二天起，他每日记熟的字数都是前一天的2倍，问：这三天他每天熟记的字数是多少？解答时，可设第三天读熟的字数为单位1，则第二天读熟的为12，第三天为14。所以第三天读熟的字数是34685÷（1+12+14）=19820（字）第二天读熟的是19820÷2=9910（字）；第三天读熟的是9910÷2=4955（字）。（五）百羊问题。甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，所得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？【解说】此题的意思是：一个牧羊人赶着一群羊去寻找青草茂盛的地方。有一个牵着一只羊的人从后面跟来，并问牧羊人：“你的这群羊有100只吗？”牧羊人说：“如果我再有这样一群羊，加上这群羊的一半又1/4群，连同你这一只羊，就刚好满100只。”谁能用巧妙的方法求出这群羊有多少只？此题的解是：（100－1）÷（1＋1+12+14）＝36只