大学课件-概率论与数理统计-随机事件与概率

确定与随机试验１：在相同的条件下，投掷一枚匀质的硬币。观察哪一面向上。试验２：在相同条件下，投掷一颗匀质正六面体的骰子。观察所出现的点数试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命这些试验具有如下特点：1）试验可以在相同的条件下重复进行。2）试验可能出现的所有结果种类已知3）在未试验之前，不知道下次试验出现的结果，但试验结果必是所有可能结果中的某一个。具有这些特点的试验称为随机试验。随机现象与随机试验1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。2)随机试验今后简称为试验。3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，称为统计规律性。说明：概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性每一个可能结果出现的可能性的大小是确定的。样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本空间。常用Ω表示。样本点：样本空间的元素称为样本点，常用ω表示。样本空间与随机事件试验２：投掷一颗匀质正六面体的骰子，观察所出现的点数。Ω＝{1，2，3，4，5，6}试验1和试验2的样本空间只含有有限个元素，称为有限样本空间。试验3的样本空间含有的元素是无限的，称为无限样本空间。试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命Ω＝[0，+∞)={x∈R∣0≤x+∞}试验１：投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上。规定带有国徽图案的是正面。Ω＝{正面，反面}随机事件：样本空间的某些子集称为随机事件，简称事件。常用A、B、C等表示。在一次试验中，当试验结果ω∈事件A时，称这次试验中事件A发生。否则，当试验结果ω∈事件A时，称这次试验中事件A不发生。两种特殊的随机事件：必然事件：样本空间在每次试验中均会发生，故称为必然事件。不可能事件：空集Φ在每次试验中均不会发生，故称为不可能事件。不能再分解的事件称为简单事件或称为基本事件。由基本事件组合而成的事件称为复合事件。注意：基本事件是相对的，不是绝对的。也可这样定义：基本事件：只含单个样本点的集合称为基本事件或简单事件。例2：在下列试验中，试用集合表示下列事件。解：{出现偶数点}={2，4，6}。1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子，出现偶数点的事件。{出现偶数点}是一个复合事件。它可分解为更简单的事件，{出现偶数点}={出现２点}∪{出现４点}∪{出现６点}但上述三事件不能再分解为更简单的事件，是基本事件。2)、从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命。{灯泡寿命大于100小时}的事件。解:{灯泡寿命大于100小时}＝｛Ｔ∣Ｔ＞100｝1、事件的包含如果事件A发生，事件B一定发生。则称事件B包含事件A。记为：BA⊂Ω⊂A显然：ΩBA文氏图例如：B＝{出现偶数点}，A＝{出现４点}一、事件的关系2、事件的相等如果事件A与事件B互相包含，即则称事件A等于事件B。记为：A＝B。且ABBA⊂⊂ΩAB3、事件的互斥如事件A与事件B不能在同一次试验中都发生（但可以都不发生），则称事件A与事件B是互斥或互不相容的。记为：A∩B＝Φ如事件A1，A2,…，An任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的,简称互斥。即有Ai∩Aj=Φ，1≤i＜j≤n∅∅ΩAA4、事件的对立所谓事件Ａ与事件Ｂ为对立事件，就是指Ａ与Ｂ不同时发生，但必发生一个。由定义AB＝ΦA＋B＝Ω记B＝A，则B＝A例如：Ａ＝{出现偶数点}，Ｂ＝{出现奇数点}；Ａ与Ｂ互为对立事件。二、事件的运算1、事件的和事件A与事件B的和是指事件A和事件B中至少有一个发生。记为A∪B。例如：Ａ＝{出现２点或４点}，Ｂ＝{出现２点或６点}；则A∪B＝{出现偶数点}当A、B互斥时，A∪B可记为A＋B。n个事件A1，…，An的和是指这n个事件中至少有一个发生。如果事件A1，A2，…，An两两互斥,则如果事件A1，A2，…，An两两互斥,且Ω＝A1+A2+…+An，则称这n个事件构成互斥完备群。UniiA1=∑===niiiniAA11UULL∞=11iinAAA为中至少有一个发生，记，，是指一列事件可列多个事件的和事件2、事件的积事件A与事件B的积是指事件A和事件B同时发生。记为AB或A∩B。∏∞=11iinAAA全都发生的事件，记为，，是指一列事件LL当A、B互为对立事件时，有：A＋B＝Ω，AB＝Φ。同时发生的事件。，是指事件nniiAAAL11∏=可列多个事件的积事件例如：Ａ＝{出现２点或４点}，Ｂ＝{出现２点或６点}；则ＡＢ＝{出现2点}解：（１）（２）（３）例4：设Ａ、Ｂ、Ｃ为任意三个事件，写出下列事件的表达式：1)恰有二个事件发生。2)三个事件同时发生。3)至少有一个事件发生。BCACBACAB∪∪ABCCBA∪∪CBAABCBCACBACABCBACBACBA++++++或或3、事件的差事件Ａ与事件Ｂ的差Ａ－Ｂ，是指Ａ发生，Ｂ不发生。由定义Ａ－Ｂ＝A∩B，A＝Ω－A例如：Ａ＝{出现２点或４点}，Ｂ＝{出现２点或６点}；则Ａ－Ｂ＝{出现４点}对于任意三个事件Ａ、Ｂ、Ｃ，满足下列运算：1)、交换律A∪B=B∪AAB=BA2)、结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A(BC)3)、分配律A(B∪C)=AB∪ACA∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)4)、对偶律iniiniiniiniAABABAAA1111BABA========UIUIIUIU三、事件的运算法则例6：在纸牌游戏中，分别以Nk、Ek、Sk、Wk表示北家，东家，南家，西家至少有ｋ个“Ａ”（已知一副牌中共有４个Ａ），问下列事件中西家有几个“Ａ”：111221)3()2()1(ESNSNW解：（１）表示西家至少有一个“Ａ”，则表示西家没有“Ａ”。（２）表示北家与南家至少各有两个“Ａ”，但一副牌共有４个“Ａ”，因此，北家与南家各有两个“Ａ”。即西家没有“Ａ”。（３）分别表示北家、南家、东家没有“Ａ”，则表示北家、南家、东家三家同时没有“Ａ”，即西家有４个“Ａ”。22SN1W111ESN、、111ESN事件域事件域由样本空间的一些子集构成的集合F，如果满足如下条件：FAnFAFAFAFnnn∈=∈∈∈∈Ω∞=1,,2,1)3,)2)1UL则如则如则称F为一个事件域。F中的元素称为随机事件，Ω为必然事件，Φ为不可能事件概率的应用频率的定义设事件Ａ在ｎ次试验中出现了ｒ次，则比值r/n称为事件Ａ在ｎ次试验中出现的频率。频率与概率概率的统计定义在同一组条件下所作的大量重复试验中，事件Ａ出现的频率总是在区间[0，1]上的一个确定的常数ｐ附近摆动，并且稳定于ｐ，则ｐ称为事件Ａ的概率，记作P(A)。例:英文字母的出现频率。注1：频率与试验有关，但概率是该事件的客观属性。注2：稳定中心不是极限。注3：给出了一个求概率的方法。注4：理论依据。古典概型的随机试验要求满足下两条件：有限性。只有有限多个不同的基本事件。等可能性。每基本事件出现的可能性相等。古典概型在古典概型中，如果基本事件（样本点）的总数为ｎ，事件Ａ所包含的基本事件（样本点）个数为r(r≤n)，则定义事件Ａ的概率P(A)为r/n。即古典概率基本事件总数中包含的基本事件个数AnrAP==)(•概率性质：（１）对任一事件Ａ有：因为，；所以，（２）（３）若事件Ａ与Ｂ互斥，则()10≤≤APnr≤≤0()10≤=≤nrAP()().0,1=Φ=ΩPP()()()BPAPBAP+=+证：设基本事件总数为，而Ａ包含个基本事件，Ｂ包含个基本事件，由古典定义有；而，故Ａ＋Ｂ包含的基本事件数为。于是n1r2r()nrAP1=()nrBP2=Φ=∩BA21rr+()()()BPAPnrnrnrrBAP+=+=+=+2121推广（概率加法定理）：对于个两两互斥的事件，有（４）对于任意事件Ａ，有证：因为且，于是有但所以nnAAA,,,21L()()()()nnAPAPAPAAAP+++=+++LL2121()()APAP−=1UAA=+Φ=∩AA()()1==+UPAAP()()()1=+=+APAPAAP()()APAP−=1古典概率：试验结果要求有限、互不相容、等可能几何概率：落入区域G内任一点是等可能的。统计概率：要求作大量重复试验。前面学了三种概率定义，各有其局限性。概率的公理化定义概率的公理化定义设Ω是样本空间，A∈F，P(A)是A的实值函数，且满足如下三条公理，则称P(A)是A的概率。公理1公理2公理3对任一事件Ａ有：0≤P(A)≤1P(Ω)=1对于n个两两互斥的事件A1，A2，…，An，有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)定义在事件域F上的一个集合函数称为概率，如果它满足如下三个条件：概率的公理化定义1）2）3）对任一事件Ａ有：0≤P(A)≤1P(Ω)=1对于n个两两互斥的事件A1，A2，…，An，有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)1)、非负性对任一事件Ａ有：0≤P(A)≤12)、规范性P(Ω)=13)、可加性若事件Ａ与Ｂ互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)概率的性质对于n个两两互斥的事件A1，A2，…，An，有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)如果构成互斥完备群，则P(A1)+P(A2)+…+P(An)＝1对一列两两互斥的事件A1，A2，…，An，…有4)、P(Φ)＝0证明：对任一事件A，A＝A＋Φ则P(A)=P(A＋Φ)=P(A)＋P(Φ)∴P(Φ)=0∑∑∞=∞==11)()(kkkkAPAP)()()5BPAPBA≤⊂，则如证明：)()(0)()()()]([)()(APBPABPABPAPABAPBPABABBA≥∴≥−−+=−+=∴−+=∴⊂QQ6)、对于任意事件Ａ，有P(A)=1－P（A）)(1)(1)()(1)()(APAPAPAPPAAPAAAA−==+∴=Ω=+∴Φ=Ω=即UQ证明：7)、对于任意事件Ａ、Ｂ，有P(A－B)=P(A)－P(AB))()()()()()()()()()()(ABPAPBAPABPBAPAPABABAABPABAPABABAPAPABABAA−=−∴+−=∴−=−+−=+−=∴+−=而Q证明：8)、对于任意事件Ａ、Ｂ，有P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)证明：∵A∪B=A+(B－AB)∴P(A∪B)=P(A+(B－AB))=P(A)+P(B－AB)=P(A)+P(B)－P(AB)例8：证明下列命题：１)若A1与A2同时发生时Ａ发生，则有P(A)≥P(A1)＋P(A2)－12)若，则有P(A)≥P(A1)＋P(A2)＋P(A3)－2AAAA⊂3211)()()(1)()()()()()()()()()()()()121212121212121212121−+≥∴≤−+≥∴−+≥−+=⊂APAPAPAAPAAPAPAPAPAPAPAPAAPAPAPAAPAAAAAAUQUU又发生，则同时发生时与若证明：2)()()(1)(1)()(1)()()()(1)()()()()()()2321321321321321−++=−+−+≥−+≥≥∴⊂−+≥−+=APAPAPAPAPAPAPAAPAAAPAPAAAABPAPBAPBPAPABP且UQ例１：投掷一颗匀质骰子，求事件Ａ＝｛出现偶数点｝的概率？()2163===nrAP解：ei出现第i点样本空间U={e1,e2,e3,e4,e5,e6},即n=6A={e2,e4,e6},即r=3故概率计算模型尽管看上去很简单，但却有着广泛的应用，并富有很强的趣味性。一旦确定可以用古典概率模型来描述，问题的关键在于计算基本结果的总数n和A所包含的基本结果个数。这需要一些技巧和方法，我们希望通过例子来说明。例２：袋中有三个白球两个红球，从袋中任取两个球，求以下事件的概率：（１）Ａ＝｛取得两个都是白球｝（２）Ｂ＝｛取得两个都是红球｝（３）C＝｛取得一个白球一个红球｝（１）袋中有三个白球，从袋中取两个白球有种取法。即Ａ包含的基本事件个数。于是，解：袋中有五个球，任取两个共有种取法，即基本事件总数。25C1025==Cn323=C3=r()3.0103==AP（3）袋中有两个红球，三个白球，故从袋中取一红一白