高等数学课件 极限和连续

第1页（共9页）第一讲极限和连续一、极限的定义：数列N定义、函数,X定义。（略）例1：证明21220lim12xnnedxnx。证明：取0，我们有22222001arctan112xnendxenenx（1）221221arctanarctan1arctanarctan1xnenenndxennnx因为limarctanarctan0nnn，所以由夹逼准则可得2122lim01xnnendxnx。1220limlimarctan12nnndxnnx对任取的0，当充分小时，由（1）可得222013xnendxnx可以成立，又因为21122220lim0,lim112xnnnenndxdxnxnx，所以存在0N，当nN有21122220,13123xnenndxdxnxnx此时有22211122222222000121112xxxnenennenndxdxdxdxnxnxnxnx由此可得21220lim12xnnedxnx。二、极限的计算方法：1）代入法（利用函数的连续性00limxxfxfx）；2）单调有界准则和夹逼准则；3）两个重要极限：0sin1lim1,lim1xxxxexx；4）极限的四则运算法则；第2页（共9页）5）有界量与无穷小的积还是无穷小；6）等价无穷小的替换：0x时，sintan1xxxaxe1ln1arctan,1cos2xxxx；7）复合函数求极限法则：条件0000lim,limxxuuxufufu，则有0000limlimlimxxuuxxfxfufufx；8）洛必达法则；9）利用泰勒公式求极限；10）利用定积分的定义计算极限；11）利用级数的一些结果计算极限；12）海涅归结原则：（利用它可以把一些数列问题化为函数极限问题）；定理1：1、函数极限0limxxfxA的充要条件是：对任何数列nx，若0limnnxx，则有limnnfxA；2、函数极限limxfxA的充要条件是：对任何数列nx，若limnnx，则有limnnfxA。13）施托尔茨（Stolz）定理（数列极限的洛必达法则）；定理2：设数列nb单调增加且limnnb，如果11limnnnnnaabb存在或为，则有11limlimnnnnnnnnaaabbb。证明：设11limnnnnnaaAbb，则对任给的0，存在正整数N，当nN时恒有1111nnnnnnnnaaaaAAAbbbb由于数列nb单调增加，所以有111NNNNNNAbbaaAbb111NNNNNNAbbaaAbb……………………111nnnnnnAbbaaAbb第3页（共9页）由此可得11111nNnNnNnNnNaaAbbaaAbbAbb又因为1111111nnnNnNNnNnnNnnNnNnaabbaaabbAAAbbbbbbbbb11111nNnNNNnNnnaabbaAbAbbbb由于limnnb，所以存在1NN，当1nN时有11NNnaAbb，并且有11nNnbbb，所以当1nN时有11112nnNNNnnNnaaaaAbAAbbbb由此即得11limlimnnnnnnnnaaabbb。11limnnnnnaabb的情形类似证明。例2：证明极限的平均值定理1、设limnna存在或为，则有12limlimnnnnaaaan；2、设0,1,2,nan，且limnna存在或为，则有12limlimnnnnnaaaa证明：利用施托尔茨定理证明1、12112112limlimlim1nnnnnnnnaaaaaaaaaaannn2、因为12lnlnln12naaannnaaae，所以12lnlnlnlimlimlnlnlim12limlimnnnnnnaaaaannnnnnaaaeeea。例3：设lim,limnnnnxayb，证明数列1211nnnnxyxyxyzn收敛于ab。证明：由极限与无穷小的关系，存在数列,nn且有lim0,lim0nnnn，使得,nnnnxayb，第4页（共9页）12111212nnnnnnxyxyxyzabbannn1211nnnn由例1可得1212lim0,lim0nnnnnn，由lim0nn可得数列n有界，即存在0M有,1,2,nMn；由lim0nn可得lim0nn，再由例1得12lim0nnn，由于121211nnnnMnn所以有1211lim0nnnnn再利用极限与无穷的关系得limnnzab。例4：设数列na有界，对任给的n总有23,nnnnaaaa，证明limnna存在。证明：由于2nnaa及na有界，由单调有界准则，数列221,nnaa收敛，再由3nnaa及na有界可得数列3ma是收敛的。又因为6na分别是23,nnaa的子列，321na分别是213,nnaa的子列，所以221limlimnnnnaa，即有limnna存在。例5：设11a，数列121nnaa，证明极限lim1nna。证明：考虑函数12fxxx，可得2112fxx。当1x时，0fx，即函数fx是单调递减的，所以当1x时有1102xfxfx又因为1x时有1012x，由1111,2nnaaa即可得01na，2,3,n第5页（共9页）110,1,2,2nnnnaaana由单调有界准则limnna存在，无妨设limnnaa，则有2212101aaaaa例6：设101121,,1,2,2nnnxnxxaxbxnn，求极限limnnx。解：由11212nnnxnxxn可得1112nnnnxxxxn1121011112212!2!nnnnnnnnxxxxxxbannnn112100nnnnnxxxxxxxx12112011112121!22!21!!knnnnnkbaaannk所以有12012lim!knnkxabaabaek。例7：设111,,abc是正数，它们的和为1。定义数列2221112,2,2nnnnnnnnnnnnaabcbbacccab证明：当n时，三个数列,,nnnabc的极限都存在，并求出极限。证明：因为21111111,nnnnnnabcabcabc，所以我们有11,2,nnnabcn（1）由此可得数列,,nnnabc都是有界数列，设,,nnnabc的最大值与最小值分别为,nnMm，则数列,nnMm也是有界数列，又因为212nnnnnnnnnnnaabcMaMbMcM212nnnnnnnnnnnbbacMaMbMcM第6页（共9页）212nnnnnnnnnnnccabMaMbMcM212nnnnnnnnnnnaabcmambmcm212nnnnnnnnnnnbbacmambmcm212nnnnnnnnnnnccabmambmcm所以有11,nnnnMMmm，由单调有界准则lim,limnnnnMm存在。由于112nnnnnnnabababcnnnnnnnnacbcacbc222nnnnnnacbcMm同理可得221111,nnnnnnnnacMmbcMm，因此有242111111nnnnnnnMmMmMmMm再根据1101Mm可得lim0limlimnnnnnnnMmMm。因为,,nnnnnnnnnmaMmbMmcM由夹逼准则可得limlimlimlimlimnnnnnnnnnnabcmM，利用（1）可得1limlimlimlimlim3nnnnnnnnnnabcmM例8：证明数列7,77,777,7777收敛，并求其极限。解：设此数列为na，则有277nnaa，容易看出07na，如果极限存在设limnnaa，则有42221442010420aaaaaa322210210aaaa由于32210210aaa有一个实根在3和4之间，所以有2a。考虑函数770,7fxxx，第7页（共9页）1111164777449714fxxx利用拉格朗日中值定理1222216fxfxffxx其中在2,x之间，由此我们有2222211102227721616nnnnafaa2123231110222721616nnnnafaa由夹逼准则得221limlim2lim2nnnnnnaaa。三、连续函数及其性质1）闭区间上连续函数的性质：最大值最小值定理；零点定理；介值定理。2）一致收敛与一致连续定义1：对于函数列,,,1,2,nfxxabn和常数A，如果对任给的0，存在0N，当nN时，对于任意的,xab恒有nfxA则称nfx在,ab上一致收敛于A。定义2：对于函数,,fxxab，如果对任给的0，存在0，对于任意的12,,xxab，当12xx时恒有12fxfx则称fx在,ab上一致连续。例9：设fx在,上连续，且1fe，对于任给的,xyR恒有fxyfxfy证明：xfxe。证明：由于000001ffff或00f，如果00f则有