solow-model

索洛增长模型陈斌开中央财经大学经济学院索洛模型（一）模型的基本假定（二）模型的动态学（三）参数变化的影响（四）收敛问题（五）模型的主要结论（一）模型的基本假定1.关于生产函数的假定产量取决于三个变量：资本、劳动、知识；A和L以相乘形式影响Y：劳动力：知识水平；：资本存量；tLtAtKtLtAtKFtY,（一）模型的基本假定规模报酬不变这意味着：a经济规模足够大（专业化收益已被穷尽）；b其他因素，如自然资源等不重要。0cLKcFcLcKF,,（一）模型的基本假定根据规模报酬不变假设，可以将生产函数写成密集形式：其中：有效劳动AL，有效劳动人均资本k=K/AL，有效劳动人均产量y=Y/AL，总产量Y=AL·f(k)资本量。为单位有效劳动的平均产量；为单位有效劳动的平均kykfyALKFALALKF,11,（一）模型的基本假定进一步假设：0limlim)(000kfkfInadakfkfkk条件：满足稻田边际报酬递减保证经济增长路径不发散（一）模型的基本假定kf(k)新古典生产函数——新古典增长理论第一，每种投入的边际产品为正且递减。第二，规模报酬不变。第三，稻田条件：00limlimlimlim0KLKLKLKLFFFF满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因此，索洛增长模型又被称为新古典增长模型。（一）模型的基本假定通常使用CD生产函数（索洛）：10100AKALQ1替代弹性：：决定规模报酬性质；：资本的产出弹性；：劳动的产出弹性；（一）模型的基本假定满足索洛模型的CD函数形式为：1(,)();(,1);01'()0,''()0ttttYFKALKALYKyFkALALfkfk（一）模型的基本假定2.关于投入品的假设资本、劳动、知识的初始水平既定，劳动、知识以不变速度（外生）增长：gtnteAtAeLtLtgAtAtnLtL00则可得到：指数增长假设时间t是连续的（非离散的）（1）劳动力的增长：（2）知识的增长：其中n为人口增长率，g为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度ntLdttdLtLtL)(/]/)([)(/)(gtAdttdAtAtA)(/]/)([)(/)(有效劳动的增长劳动和知识的进化，使得有效劳动数量在增长，其增长率为：ngtLtLtAtAtLtAtLtAtLtAtLtAdttLtAd)()()()()()()()()()()()()()(（一）模型的基本假定资本的增长（投资）：：折旧率（外生）。：储蓄率（外生）；stKtsYtK索洛经济经济社会只有生产和消费两个部门，资本K、劳动L和知识A是生产的三大要素（其他要素都可以忽略），经济在任何时刻都处于充分就业的均衡状态，储蓄总是等于投资；生产的规模报酬不变；技术进步表现为劳动效率的提高，即技术进步属于哈罗德型（劳动密集型）；生产函数的集约形式满足新古典假设；人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数，人口和知识呈指数增长。（二）模型的动态学k的动态变化tkgntksfgtkntktLtAtKtsYtAtAtLtAtKtLtLtLtAtKtLtAtKtAtLtLtAtLtAtKtLtAtKdttLtAtKddtdktk2（二）模型的动态学索洛模型的核心公式：单位有效劳动的资本存量的变化等于两项之差：：单位有效劳动的平均投资：持平投资，使k保持现有水平所必需的投资tkgntksftkksftkgn经济解释kk(t)=sf(k(t))-(n+g+)k(t)是索洛模型的基本微分方程，它表明k(t)是的方程。含义说明：人均实际投资sf(k(t))用于两个方面：一是“资本的深化”，即k(t)，二是“资本的广化”（持平投资），即（n+g+）k(t)。（二）模型的动态学k每单位有效劳动平均投资k*ksftkgn（二）模型的动态学k的相图（三维空间在平面的投影）k)(tkk*k稳态定义“稳态”：一种其中各种变量都以不变速度增长的情况，即k(t)=0。当sf(k(t))(n+g+)k(t)时，k(t)0（资本存量增加）当sf(k(t))(n+g+)k(t)时，k(t)0（资本存量减少）当sf(k(t))＝(n+g+)k(t)时，k(t)＝0（实际投资与持平投资相等。无论k从何处开始，它都收敛于k*）趋势定理在索洛经济中，只要起始时刻的有效人均资本k=k(0)，那么就有。lim()*tktk（二）模型的动态学：平衡增长路径k=k*时各变量的变动：增长；：以速率增长；：以速率等于按固定增长率增长；gnYgnALkKLA)(,（二）模型的动态学k=k*时各变量比例的变动：增长。：以速率增长；：以速率：不变；gLKgLYKY///证明K的增长率：)()()()()()()()()()()(gntKtKtAtAtLtLtKtKtktkY的增长率规模报酬不变之假设。这一假设说明了总产出是按照资本和有效劳动的边际生产力来分配的：其中是资本的边际生产力，是有效劳动的边际生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率在增长，所以，。LAFKFYALKKFALFgn)()()(tKgntK)()()()()(tLtAgntLA，Y的增长率从以上可推导：总产出的增长率也是gntYgntYtYgntLtAFtKFtYtLAFtKFtYtYALKALK)())(()())](()()([)()()()()()(gn人均产出增长率人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长。注意区分人均产出与人均有效劳动产出。)()()()()()()()()()()()()()()(tLtYgntLtYtLtYgntLtLtLtYtLtYtLtYdtd平衡增长路径在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。变量含义平衡增长速度备注证明K资本存量n+gk=K/AL绝L劳动力n对A知识或技术g量AL有效劳动n+gY总产出n+gF(cK,cAL)=cF(K,AL)C总消费n+gC=(1-s)Yk(K/AL)有效劳动的平均资本0K/L人均资本g相y(Y/AL)有效劳动的人均产出0y=f(k)=Y/AL对Y/L人均产出g量c(C/AL)有效劳动的人均消费0c=(1-s)f(k)C/L人均消费gK/Y资本产出比0（三）参数变化的影响索洛模型中，主要参数有：政策最有可能影响的是储蓄率sgn,,,（三）参数变化的影响1.储蓄率增加的影响方向分析（定性）；2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平；3.储蓄率增加的影响程度分析（定量）。1.储蓄率增加的影响方向分析kykgn)()(kfsold)(kfsnewoldknewkoldynewy1.储蓄率增加的影响方向分析如果两个国家除了储蓄率外，其他一切都相同，则储蓄率高国家的收入水平会永远高于储蓄率低国家，差距为：*1*2*1*212kfkfkALfkALfYY1.储蓄率增加的影响方向分析tt0stt0k,y1.储蓄率增加的影响方向分析tt0lnKlnY1.储蓄率增加的影响方向分析tt0ln（Y/L）tt0Y/L的增长率1.储蓄率增加的影响方向分析tt0Y/K1.储蓄率增加的影响方向分析储蓄率的一个永久增加：导致k在一定时期上升，保持在一个较高水平；在短期内会改变Y、K的增长率，长期无影响；造成Y/L增长率的暂时性增长；储蓄率的变化有水平效应（LevelEffect），但没有增长效应（GrowthEffect），在该模型中只有技术进步率有增长效应。1.储蓄率增加的影响方向分析对消费的影响（c为每单位有效劳动的平均消费）tt0c2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平储蓄率越高，人均收入水平会越高收入的目的毕竟是消费，收入本身不是最终目的从消费最大化角度来确定一个最优储蓄率，相对应的人均资本，就是资本的黄金规则水平2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平在稳态下，消费等于：sgnskgnkfscgnkfkckgnkfc,,,*********定性分析*(,,,)*0'(*(,,,))()***'(*(,,,))()0***'(*(,,,))()0goldgoldksngcssfksngngckkfksngngsckkfksngngs，因此的符号取决于与的大小。当，，当，，2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平*kfk*稳态人均产量*kgn2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平消费最大，也即资本黄金规则的条件：也即：gnkf*gnkf2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平f(k)Egcy0kδkgki=sgf(k)i=s1f(k)i=s2f(k)k2*c2*c1*k1*2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平tt0c储蓄率提高，消费减少（储蓄率高于黄金规则水平）2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平tt0c储蓄率降低，消费增加（储蓄率高于黄金规则水平）2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平tt0c储蓄率提高，消费增加（储蓄率低于黄金规则水平）2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平tt0c储蓄率降低，消费降低（储蓄率低于黄金规则水平）黄金律和动态无效率过度储蓄的经济被称为动态无效率，因为降低储蓄率不仅提高了稳态消费，也提高了转移过程中的消费，即原来的人均消费路径在所有时点都位于另一条可行的路径之下。k0(n+g+δ)kf(k)s1f(k)k1*c1*sgf(k)kg*cg*动态无效率区域（四）收敛问题收敛速度绝对收敛与相对收敛收敛速度的定性分析k/()/()(())()()()0(())()()()0kkksfkkngsfktngktktsfktngktkt定义的增长率当时，；当时，；结论这表明k离k*越远，其增长率（正或负）越大。'()()/0kksfkfkkk其他变量的收敛速度可以证明索洛模型中的其他变量X的均衡动态增长率与k保持比例或线形关系，例如：kKkykfkkfkfkkfyy)](/)('[)(/)('/gnkK结论（索洛模型的收敛性）每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。“转型动态原理”经济体低于稳态越多，将会增长越快；经济体高于稳态越多，将会增长越慢。绝对收敛与相对收敛对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛的概念。绝对收敛：不同经济体；相对收敛：同质经济体。绝对收敛不同的经济体：穷国比富国增长快。绝对收敛假说。相对收敛一个经济离其自身的稳态值越远，增长就越快。相对收敛假说。'()()/0kksfkfkkk（五）经济增长的计量分析趋同问题——鲍莫尔(W.Baumol,1986)投资与人口增长对产出的影响——曼昆、罗默