第39讲-运动型问题

第39讲运动型问题运动型问题主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合．第39讲┃运动型问题┃考向互动探究┃探究一点动型动态题例1[2013·山西]综合与探究：如图39－1，抛物线y＝14x2－32x－4与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.第39讲┃运动型问题(1)求点A，B，C的坐标；(2)当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N.试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；(3)当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第39讲┃运动型问题【例题分层探究】(1)如何求点A，B，C的坐标？(2)当四边形CQMD是平行四边形时，CD和MQ之间有什么样数量关系？此时m的值是多少？(3)当四边形CQMD是平行四边形时，利用平行四边形的边角性质你能判断四边形CQBM的形状吗？(4)当点P在线段EB上运动时，△BDQ为直角三角形有哪几种可能情况？哪些情况存在？此时点Q的坐标是多少？第39讲┃运动型问题第39讲┃运动型问题(1)由于A，B，C是抛物线与坐标轴的交点，所以令抛物线解析式中x或y为0即可求出A，B，C的坐标．(2)根据平行四边形对边相等，可知CD＝MQ，根据这种数量关系及位置关系可求出m的值为4.(3)根据四边形CQMD是平行四边形可知DMCQ，由l∥y轴及OP＝12OB＝4.可知△BPM∽△BOD，所以BPBO＝BMBD＝12，所以BMDM，所以BMCQ，所以四边形CQBM为平行四边形．(4)存在三种可能情况：以Q为直角顶点、以D为直角顶点、以B为直角顶点．以D为直角顶点、以B为直角顶点的情况存在，此时点Q的坐标分别是Q1(－2，0)，Q2(6，－4)．【解题方法点析】关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图．解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量．如本题利用菱形的对称性，平行四边形的性质及方程思想和分类思想综合解决问题．第39讲┃运动型问题解：(1)当y＝0时，14x2－32x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝8.∵点B在点A的右侧，∴点A，B的坐标分别为(－2，0)，(8，0)；当x＝0时，y＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)．第39讲┃运动型问题(2)由菱形的对称性可知，点D的坐标为(0，4)．设直线BD的解析式为y＝kx＋b，则b＝4，8k＋b＝0.解得k＝－12，b＝4.∴直线BD的解析式为y＝－12x＋4.∵l⊥x轴，∴点M，Q的坐标分别是m，－12m＋4，m，14m2－32m－4.第39讲┃运动型问题当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形．∴－12m＋4－14m2－32m－4＝4－(－4)，化简得m2－4m＝0.解得m1＝0(舍去)，m2＝4.∴当m＝4时，四边形CQMD是平行四边形．此时，四边形CQBM是平行四边形．理由：方法一：∵m＝4，∴点P是OB的中点．∵l⊥x轴，∴l∥y轴．∴△BPM∽△BOD.∴BPBO＝BMBD＝12.∴BM＝DM.∵四边形CQMD是平行四边形，∴DMCQ，∴BMCQ，∴四边形CQBM为平行四边形．第39讲┃运动型问题方法二：设直线BC的解析式为y＝k1x＋b1，则b1＝－4，8k1＋b1＝0，解得k1＝12，b1＝－4，∴直线BC的解析式为y＝12x－4.又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x＝4时，y＝－2.∴点N的坐标为(4，－2)，由上面可知，点M，Q的坐标分别为：(4，2)，Q(4，－6)．∴MN＝2－(－2)＝4，NQ＝－2－(－6)＝4.∴MN＝QN.又∵四边形CQMD是平行四边形，∴DB∥CQ，∴∠MBN＝∠NCQ，又∠MNB＝∠CNQ，∴△BMN≌△CQN，∴BN＝CN.∴四边形CQBM为平行四边形．(3)抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1(－2，0)，Q2(6，－4)．第39讲┃运动型问题探究二线动型动态题例2[2013·泰州]如图39－2，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－2与y轴相交于点A，与反比例函数y＝kx在第一象限内的图象相交于点B(m，2)．(1)求该反比例函数关系式；(2)将直线y＝x－2向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．第39讲┃运动型问题【例题分层探究】(1)利用点B是直线y＝x－2与反比例函数图象的交点，怎样求m的值？此时点B的坐标是多少？根据点B的坐标及点B在反比例函数图象上，如何求反比例函数关系式？(2)△ABC的面积如何表示？根据△ABC的面积为18，怎样求点C的坐标？(3)利用(2)中求得的C点坐标，怎样求平移后的直线的函数关系式？第39讲┃运动型问题第39讲┃运动型问题(1)将B点的纵坐标代入一次函数关系式，可求得m＝4，∴B(4，2)．将B点坐标代入反比例函数关系式，可求得y＝8x，(2)△ABC的面积＝长方形的面积－3个直角三角形的面积＝18，设C点坐标为x，8x，将△ABC的面积用含x的代数式表示出来，求得x的值，从而得C点坐标．(3)由于平移前后两条直线平行，故它们的斜率k相同且都为1，故可设平移后直线的函数关系式为y＝x＋b，点C在平移后的直线上，所以把C点坐标代入即可求得．【解题方法点析】解决此类题的关键是根据线运动的变化，研究图形的变化．由图形变化前后的关系及图形的性质综合解决问题，如本题利用平移性质及三角面积建立方程解决问题.第39讲┃运动型问题解：(1)∵点B(m，2)在直线y＝x－2上，∴m－2＝2，解得m＝4，∴点B的坐标为(4，2).又∵点B(4，2)在反比例函数y＝kx的图象上，∴k＝8，∴反比例函数关系式为y＝8x.第39讲┃运动型问题(2)设平移后的直线的函数关系式为y＝x＋b，C点坐标为x，8x.∵△ABC的面积为18，∴4×8x＋2－12×4×4－12×(4－x)8x－2－12×x×8x＋2＝18，化简，得x2＋7x－8＝0，解得x1＝－8，x2＝1.∵x＞0，∴x＝1，∴C点坐标为(1，8)．把C点坐标代入y＝x＋b，得8＝1＋b，∴b＝7.∴平移后的直线的函数关系式为y＝x＋7.第39讲┃运动型问题探究三面动型问题例3如图39－3①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝42，另有一等腰梯形DEFG(GF∥DE)的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．第39讲┃运动型问题操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′(如图②)．(1)探究1：在运动过程中，四边形CEF′F能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由；(2)探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEF′G′重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．第39讲┃运动型问题【例题分层探究】(1)在运动中，四边形CEF′F为平行四边形，若使其为菱形，则CE和CF之间应满足怎样的数量关系？如何求运动时间x呢？(2)四边形CEF′F在运动过程中，当点G′与F重合前，重叠部分是什么图形，如何求其面积？(3)当点G′与F重合及重合后，重叠部分的图形有什么样的特征？如何求其面积？第39讲┃运动型问题第39讲┃运动型问题(1)CE＝CF，由CF＝12AC，可求CE的长度，而CE为移动的距离，由移动的速度为每秒1个单位，故可求运动时间．(2)重叠的部分为等腰梯形，过点G作GM⊥BC于M，先求GM，进而可得等腰梯形DEFG的面积和平行四边形BDG′G的面积，所以重叠部分的面积为等腰梯形DEFG的面积－平行四边形BDG′G的面积．(3)重叠部分为等腰直角三角形，设FC与DG′交于点P，作PQ⊥DC于Q，可求得PQ的长，故利用三角形面积公式可求得重叠部分的面积．【解题方法点析】解决与面有关的运动问题，通常都是将动态问题转化为静态问题研究，由静态状况反映动态过程的一般情况，解这类题关键是抓住面运动的变化过程以及变化的性质．第39讲┃运动型问题解：(1)能为菱形．在Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝42，∴AB＝AC＝4.由于FC∥EF′，CE∥FF′，∴四边形CEF′F是平行四边形．当CE＝CF＝12AC＝2时，四边形CEF′F为菱形，此时可求得x＝2.故当x＝2时，四边形CEF′F为菱形．第39讲┃运动型问题(2)分两种情况：(1)当0≤x＜22时，如图，过点G作GM⊥BC于M.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝42，G为AB的中点，∴GM＝2.又∵G，F分别为AB，AC的中点，∴GF＝12BC＝22.∴S梯形DEFG＝12(22＋42)×2＝6.∴等腰梯形DEFG的面积为6.∵GM＝2，∴SBDG′G＝2x.∴重叠部分的面积为y＝6－2x.第39讲┃运动型问题(2)当22≤x≤42时，设FC与DG′交于点P，则∠PDC＝∠PCD＝45°.∴∠CPD＝90°，PC＝PD.作PQ⊥DC于Q，则PQ＝DQ＝QC＝12(42－x).∴重叠部分的面积为y＝12(42－x)×12(42－x)＝14(42－x)2＝14x2－22x＋8.综上，当0≤x22时，y＝6－2x；当22≤x≤42时，y＝14x2－22x＋8.第39讲┃运动型问题┃考题实战演练┃1.[2013·衢州]如图39－4，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是()B第39讲┃运动型问题[解析]当点P由点A向点D运动时，y的值为0；当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大；当点P在CB上运动时，y不变；当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小．故选项B符合．第39讲┃运动型问题2．如图39－6，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的面积为()A．4B．8C．16D．82C第39讲┃运动型问题[解析]∵点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，∴AB＝3.∵∠CAB＝90°，BC＝5，∴AC＝4，∴点C的坐标为(1，4)．当点C落在直线y＝2x－6上时，令y＝4，得到4＝2x－6，解得x＝5，∴平移的距离为5－1＝4，∴线段BC扫过的面积为4×4＝16，故选C.第39讲┃运动型问题3．[2012·黔东南州]如图39－7，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD，并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于()A．75°B．60°C．45°D．30°C第39讲┃运动型问题[解析]过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，则∠F＝90°，∵线段PE是线段PD绕点P顺时针旋转90°得到的，∴PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠EPF＝90°.∵∠APD＋∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠EPF.在△APD和△FEP中，∵∠ADP＝∠FPE,∠A＝∠F＝90°，PD＝EP，∴△APD≌△FEP，∴AP＝FE，AD＝FP.又∵AD＝AB，∴AB＝PF，即AP＋PB＝PB＋BF，∴AP＝BF，∴BF＝EF.又∠F＝90°，∴△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°，又∠CBF＝∠ABC＝90°，∴∠CBE＝9