电子科大随机信号分析CH1概率论基础

2019/8/61/92随机信号分析任通菊2/922019/8/6我命在我，不在天地。天助自助者。主动还是被动是成功与失败的关键。梅花香自苦寒来。听好每堂课，课后研读教材，做好每次作业。学会读书，读专业书，读文学作品（修身养性，学会自信）与同学们共勉3/922019/8/6课程基础：《概率论》、《信号与系统》后续课程：《通信原理》及从事统计信号处理研究课程性质：专业基础课成绩考核：平时作业＋期中考试＋期末考试课程简介4/922019/8/6参考书：1.《随机信号分析》赵淑清郑薇编哈工大出版社2.《随机过程》毛用才等编著西安电子科技大学出版社欢迎访问《随机信号与系统》课程网站《随机过程导论》答疑时间与地点：时间：地点：科B楼2325/922019/8/6概率论基础第一章概率论基础随机过程的基础理论第二章随机信号第三章平稳性与功率谱密度第四章各态历经性与随机实验随机过程的应用第五章随机信号与线性系统第六章带通随机信号本书内容安排：6/922019/8/6第1章概率论基础本章将复习与总结概率论的基本知识也扩充一些新知识点，比如：1)利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数，2)随机变量的条件数学期望3)特征函数4)瑞利与莱斯分布7/922019/8/61.1概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3随机变量的函数1.4数字特征与条件数学期望1.5特征函数8/922019/8/61.1概率公理与随机变量1.1.1概率公理1.概率确定性现象：在一定条件下必然发生（或必然不发生）的现象。随机现象：在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。9/922019/8/6随机试验（RandomExperiment）：对随机现象做出的观察与科学实验。E随机实验的特点：a.不唯一性b.不确定性c.可重复性样本点（SamplePoint）把随机实验E的每一个基本可能结果称为随机实验的样本点，记为ξ。10/922019/8/6随机实验的全部样本点构成的集合，称为随机实验的样本空间，记为Ω样本空间（SampleSpace）随机事件（RandomEvent）实验E中满足一定条件的样本点的集合称为随机事件,是Ω的子集。记为A,B,…每个样本点称为基本事件，样本空间Ω是必然事件，Ø是不可能事件。11/922019/8/6随机事件域F：由样本空间的全体子集构成。随机事件域（RandomEventField）域：一些集合组成的集合叫域。投一枚硬币3次，观察正反面出现的情况:E{,,,,,,,}HHHHHTHTHHTTTHHTHTTTHTTT事件A：出现正面两次{,,}AHHTHTHTHH事件B：至少出现正面一次{,,,,,,}BHHHHHTHTHHTTTHHTHTTTH12/922019/8/6概率事件是随机的。赋予事件一个出现可能性的度量值，称为概率（Probability）。常由相对频率（Relativefrequency）来计算，概率空间：(Ω，F，P)构成的三元总体空间称为概率空间。AnPAn（n很大）试验中A出现的次数总试验次数13/922019/8/60PA归一性：=1P可加性：若事件A、B互斥,即，则，AB=PABPAPB非负性：任取事件A，概率公理：任何事件A的概率满足：14/922019/8/6事件概率的基本性质1=0P201PA3,ABPAPB如果4PABPAPAB15/922019/8/6例1.1分析掷均匀硬币问题。解：H---正面，T---反面。因此，（1）样本空间：,HT（2）事件域：,,,FHT（3）由硬币的均匀特性可得，0.5PHPT，而且，0P，1P16/922019/8/6例：掷一枚均匀的骰子，观察出现点数的随机实验E,6kPAkA概率为事件包含的样本点数1,2,3,4,5,6126125612345612343,456,1234,5,234,5,6,F，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，样本空间事件域17/922019/8/62.条件概率乘法公式：PABPAPBAPBPAB条件事件：ABBA事件发生条件下的事件条件概率（Conditionalprobability），,0PABPBAPAPA链式法则：12121312121nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA18/922019/8/6事件独立其中：m为整数，(1)mn121mkkkn常由实际问题的意义判断事件的独立性事件A与B独立（Independent）等价地定义为BPAPABP多个事件彼此独立，nAAA,,,211212mmkkkkkkPAAAPAPAPA/PBAPB19/922019/8/61.1.2随机变量RandomVariable（R.V.）（1）定义若定义在样本空间Ω上的单值实函数，将基本可能实验结果ξi与实数xi对应起来，有如下函数关系：则称为随机实验E中的随机变量，简记为X。()X()iixX()X1.随机变量定义：X的取值范围称为值域或状态空间R.V.一般用大写字母X,Y,Z,20/922019/8/6X（2）类型：连续RV(C.R.V.)：X的取值连续，对应无穷多个样本点离散RV(D.R.V.):X的取值离散，状态可能有限或无限:ix状态混合RV(M.R.V.):X的取值离散或连续Ωξ1·ξ2·ξi·X(·)x2xix1样本空间随机变量随机变量值域…21/922019/8/62.随机变量的概率分布函数(累积分布函数)ProbabilityDistributionFunction定义()()[]XFxFxPXxx即，F(x)是R.V.X.落在区间上的概率。(,]x22/922019/8/6性质1)F(x)是x的单调递增函数,即2)F(x)非负，且01Fx3),必然事件1F0F'()0Fx1212xxFxFx若，有，不可能事件23/922019/8/64)区间概率特性对于D.R.V.1221[]()()PxXxFxFx12211[]()()[]PxXxFxFxPXx12212[]()()[]PxXxFxFxPXxx1x2xx1x2xx1x2x24/922019/8/6对于C.R.V.[]0PXxX取某值的概率为012121221[][][]()()PxXxPxXxPxXxFxFx即C.R.V.落在某区间的概率与区间的开闭无关5)F(x)连续性()FxPXxPXxFx证明：()()FxFx25/922019/8/66)D.R.V.的F(x)用单位阶跃函数表示()[]iixxFxPXxp1212kkXxxxPppp123xxx1p2p3pxFx1p2p3pxfxiipPXx令：1121122233314,,0(),,pFxpxxxxppxxxxpxxpx112233)))Fxpuxxpuxxpuxx（（（123xxx26/922019/8/6)iiiFxpuxx一般：（10()0xandux　　其它3.随机变量的概率密度函数ProbabilityDensityFunction()()XXdfxFxdx定义iipPXx其中：27/922019/8/6性质2）：非负性()0fx()()xFxftdt1）：3）：归一性()1fxdx4）：[]()APXAfxdx5）：D.R.V.)iiifxpxx（28/922019/8/6例1.4均匀骰子实验：定义R.V.X的取值为1,2,3,4,5,6解：是离散型的，分布律描述最为方便：X161,2,,6PXii状态概率ixip6/16/16/16/16/16/1123456或者采用列表29/922019/8/6分布与密度函数，611)6iFxuxi（611)6ifxxi（或30/922019/8/61.2多维随机变量与条件随机变量1.2.1多维随机变量(随机向量)12(,,,)TKXXXX各R.V.之间可能有一定的关系,也可能没有关系——即相互独立Ωξ1·ξ2·ξi·X1(·)X2(·)…XK(·)X1(ξ)多维映射X2(ξ)XK(ξ)……X1X2XK…31/922019/8/61.二维随机变量(X,Y)及其分布联合概率分布函数：(,)(,)[,]XYFxyFxyPXxYy联合概率密度函数：2(,)(,)(,)XYFxyfxyfxyxyXxYy32/922019/8/6性质：，且F(x,y)是x或y的单调增函数1)(,)0,1Fxy(,)1F(,)(,)(,)0FFxFy2)(,)0XYfxy非负性：3(,)(,)xyFxyfuvdudv）(,)1fxydxdy33/922019/8/64,(,)DPxyDfxydxdy）5)...DRV,,ijijijFxypuxxyy,,ijijijfxypxxyy令：，有,ijijpPXxYy34/922019/8/6,ijzuxxyyxyixjy,ijzxxyyxyixjy,uxyuxuy,xyxy35/922019/8/66)边缘分布),()(),()(yFyFxFxFYX()(,)XXYfxfxydy()(,)YXYfyfxydx边缘分布函数：边缘概率密度：36/922019/8/62.n维随机变量及其分布设有n维随机变量12(,,,)TnXXXX12121122(,,,){,,,}nXXXnnnFxxxPXxXxXxn维（联合）分布函数为:n维（联合）密度函数为：12121212(,,,)(,,,)nnnXXXnnFxxxfxxxxxx37/922019/8/6高维概率密度可通过积分降低维数，设已知n维随机变量的n维联合概率密度，，有12121(,,,)(,,,,,)mmnmnfxxxfxxxxdxdxnm个当mn38/922019/8/6例1.5某电子系统有部件A1和A2,状态：normal与false，12[]0.01,[]0.02PAfPAf随机变量X1和X2：1212121100AnAnXXAfAf　　　,　　求：(1)系统工作情况的样本空间和随机向量(X1,X2)的联合状态空间(2)A1和A2独立时，计算(X1,X2)的概率密度函数39/922019/8/6{0,0},{0,1},{1,0},{1,1}X1和X2的联合状态空间解:(1)系统状况的样本空间40/922019/8/6111212000012011210121112(,),(,)(,1)(1,)(1,1)ijijfxxpxixjPxxPxxPxxPxx{1,1}{