等腰三角形与直角三角形(Word版习题)

1第四节等腰三角形与直角三角形四川6年中考真题精选（2012-2017）命题点1等腰三角形的性质及计算(绵阳：6年2考；四川：2016年2考，2015年7考，2014年4考)1.(2013成都4题3分)如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为()A.2B.3C.4D.5第1题图第2题图2.(2014南充8题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为()A.30°B.36°C.40°D.45°3.(2015广安8题3分)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是()A.12B.9C.13D.12或94.(2015内江8题3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝35°，则∠BAC的度数为()A.40°B.45°C.60°D.70°2第4题图5.(2012广安9题3分)已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝12BC，则△ABC底角的度数为()A.45°B.75°C.45°或75°D.60°6.(2016雅安8题3分)如图所示，底边BC为23，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为()A.2＋23B.2＋3C.4D.33第6题图7.(2016绵阳9题3分)如图，△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为()3第7题图A.5－12B.5－14C.5＋14D.5＋128.(2012广元14题3分)已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是____________．9.(2013绵阳17题3分)已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－3kx＋8＝0，则△ABC的周长是________．10.(2013凉山州17题4分)若实数x、y满足|x－4|＋8y＝0，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为________．11.(2015乐山14题3分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°.第11题图第12题图12.(2015攀枝花14题4分)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(10，0)，C(0，4)，D为OA的中点，P为BC边上一点，若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为____________.命题点2等边三角形的性质及计算(绵阳：2014.11；四川：2016年1考，2015年1考，2014年2考)413.(2014泸州5题3分)如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为()A.30°B.60°C.120°D.150°第13题图14.(2016内江11题3分)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D.不能确定15.(2014绵阳11题3分)在边长为正整数的△ABC中，AB＝AC，且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1∶2的两部分，则△ABC面积的最小值为()A.712B.71536C.374D.7154命题点3直角三角形的性质及计算(绵阳：6年2考；四川：2017年3考，2016年4考，2015年3考，2014年1考)16.(2012绵阳7题3分)如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1＋∠2＝()A.225°B.235°C.270°D.与虚线的位置有关5第16题图第17题图17.(2016南充7题3分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为()A.1B.2C.3D.1＋318.(2015眉山10题3分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD＝1，则AC的长是()A.23B.2C.43D.4第18题图第19题图19.(2017绵阳11题3分)如图，直角△ABC中，∠B＝30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMF的值为()6A.12B.54C.23D.3320.(2016甘孜州13题4分)直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．21.(2015内江22题6分)在△ABC中，∠B＝30°，AB＝12，AC＝6，则BC＝________．22.(2013巴中19题3分)若直角三角形两直角边长分别为a、b，且满足269aa＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为________．23.(2014凉山州16题4分)已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为________．24.(2017乐山14题3分)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到直线AB的距离是________．第24题图7答案1.D2．B【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵CD＝AD，∴∠C＝∠CAD.∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C＝180°，∠BDA＝∠C＋∠DAC＝2∠B，∴在△BAD中，5∠B＝180°，∴∠B＝36°.3.A【解析】解方程x2－7x＋10＝0，得x＝2或x＝5，分两种情况讨论：①当2为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为2，2，5，∵2＋25，∴此时不能构成三角形；②当5为等腰三角形的腰长时，三角形的三边长分别为5，5，2，此时三边能构成三角形，∴周长为5＋5＋2＝12.4．A【解析】由AE∥BD可得∠DBC＝∠E＝35°，由BD平分∠ABC可得∠ABC＝2∠DBC＝70°，由AB＝AC可得∠ABC＝∠C＝70°，由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°－70°－70°＝40°.5．C【解析】当AB＝AC时，如解图①，AD＝BD＝CD，AD⊥BC，则∠B＝45°；当AB＝BC时，如解图②，AD＝12BC＝12AB,AD⊥BC，则∠B＝30°，∠C＝75°.综上，△ABC底角的度数为45°或75°.8第5题解图6．A【解析】如解图，过点A作AF⊥BC于点F，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝23，∴∠B＝∠C＝30°，BF＝CF＝3，在Rt△ACF中，AC＝CFcosC＝3cos30°＝2.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴△ACE的周长＝AE＋CE＋AC＝BE＋CE＋AC＝BC＋AC＝23＋2.第6题解图7．C【解析】∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠A＝36°.∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝BD＝2，AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝36°，∴∠EBC＝36°，∴△ABC∽△BCE，∴ABBC＝BCCE，∴BC2＝AB·CE，设AE＝BE＝BC＝x，则CE＝4－x，∴x2＝4·(4－x)，解得x＝25－2(负值舍去)，则cosA＝ADAE＝225－2＝5＋14.8.50°，50°或80°，20°【解析】分情况讨论：(1)若等腰三角形的顶角为80°，则另外两个内角＝180°－80°2＝50°；(2)若等腰三角形的底角为80°，则它的另外一个底角为80°，顶角为180°－80°－80°＝920°.9.6或12或10【解析】根据题意得k≥0且(－3k)2－4×8≥0，解得k≥329.∵整数k＜5，∴k＝4，∴方程变形为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8＝0，∴△ABC的边长为，2，2，2或4，4，4或4，4，2，∴△ABC的周长为6或12或10.10．20【解析】由绝对值和二次根式的非负性可知：x＝4，y＝8，由三角形三边关系知该三角形三边只能为4，8，8，所以周长为20.11．15【解析】∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝90°，且AD＝BD.∵∠ADE＝40°，∴∠A＝90°－∠ADE＝50°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝180°－50°2＝65°.∵AD＝DB，∴∠DBA＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC－∠DBA＝15°.12．(2，4)，(2.5，4)，(3，4)，(8，4)【解析】∵点A的坐标为(10，0)，点D是AO的中点，∴DO＝5，∵点C的坐标为(0，4)，∴OC＝4，∵四边形ABCO是矩形，∴直线BC上的点的纵坐标均为4.如解图，过点D作DH⊥BC于点H，当点P在CH上时，要使△DOP是等腰三角形，则(1)当P1D＝OD时，P1D＝5，在Rt△P1HD中，HD＝4，P1D＝5，根据勾股定理得P1H＝3，∴CP1＝CH－P1H＝5－3＝2，即点P1的坐标为(2，4)；(2)当P2O＝P2D时，点P2在OD的垂直平分线上，∴点P2的坐标为(2.5，4)；(3)当P3O＝DO时，在Rt△P3CO中，P3O＝5，CO＝4，由勾股定理得CP3＝3，此时点P3的坐标为(3，4)；当点P在HB上时，∠ODP＞90°，此时只能是OD10＝P4D，在Rt△P4HD中，HD＝4，P4D＝5，由勾股定理得P4H＝3，∴CP4＝CH＋HP4＝8，∴此时点P4的坐标为(8，4)．综上所述，所有满足条件的点P的坐标为(2，4)，(2.5，4)，(3，4)，(8，4)．第12题解图13.C【解析】由等边△ABC得∠C＝60°，由三角形中位线的性质得DE∥BC，∴∠DEC＝180°－∠C＝180°－60°＝120°.14.B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H.则BH=32，AH＝22ABBH＝332.连接PA，PB，PC，∵S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.15.C【解析】如解图，设这个等腰三角形的腰为x，底为y，所分的两部分周长分别为n和2n，第14题解图11第15题解图得222xxnxyn或222xxnxyn，解得2353nxny或433nxny，∵n为正数且根据三角形的三边关系，可知2×23n53n(不能构成三角形，故舍去)，∴AB＝AC＝43n，BC＝3n.过点A作AE⊥BC于点E，则BE＝12BC，∴三角形的面积S＝12BC·AE＝12BC·22ABBE＝12×3n×224()()36nn＝6336n2＝712n2，当n＞0时，S随着n的增大而增大，故当n＝3时，S＝374取最小．16．C【解析】∵等腰直角三角形的两锐角之和等于90°，四边形的内角和等于360°，∴∠1＋∠2＝360°－90°＝270°.17．A【解析】∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝12AB＝12×2＝1.18．A【解析】∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝30°，∵∠ACB＝90°－∠A＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝30BDtan＝12133＝3，∴AC＝2BC＝23.19．D【解析】∵O是△ABC的重心，则CO＝23CE，设CE＝3，则CO＝2，OE＝1，AE＝BE，∵∠ACB＝90°，∴AE＝CE＝BE＝3，∵∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵∠ACB＝90°，FE⊥AB，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝∠AEC＝60°，∴∠BCE＝∠CEF＝30°，∴FC＝FE，∵AC＝AE，∴AF垂直平分CE，∴∠FME＝90°，ME＝12CE＝32，∴在Rt△MEF中，易得MF＝33ME＝33×32＝32，OM＝ME－OE＝32－1＝12，∴MOMF＝33.20.6【解析】∵直角三角形斜