导数与函数的单调性

知识回顾问题2．函数单调性的定义是什么？一般地，在给定区间上任取两个自变量21,xx，当21xx时，若)()(21xfxf，则f(x)在这个区间上单调递增.若)()(21xfxf，则f(x)在这个区间上单调递减.问题1．导数的定义与几何意义是什么.00()()'()=limlimxxyfxxfxfxxx几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.引例：的单调性讨论函数342xxy)2,()(),2()()()()(,04,2)()()(,042)4)(()(4))(()34()34()()(,21212121212121212121212221212121单调递减区间为单调递增区间为综上单调递增则当单调递减则时，则当取（法一：定义法）解：xfyxfyxfyxfxfxxxxxfyxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfRxx2yx0（法二：图像法）342xxy递增区间：,2递减区间：2,问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但比较麻烦;如果函数图象也不方便作出来时.是否有更为简捷的方法呢？43)()3(52)()2()()1(xxfyxxfyxxfy其单调性讨论下面函数的导数及，减，增，增3)(2)(1)(xfxfxf自主探究2yx0.......观察函数y=x2－4x＋3的图象上的点的切线：自主探究小结:该函数在区间上递减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间上递增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.,22,猜测下面一般性的结论:如果在某区间上,则f(x)为该区间上增函数;0)(xf如果在某区间上,则f(x)为该区间上减函数.0)(xf问题1：我们回到单调性定义，以增函数为例，观察12xx，12()()fxfx的正负符号，如何用数学式子表示？同号，可以用0)))(()((2121xxxfxf表示.问题2：还可以用其他方法表示吗？0)()(2121xxxfxf深入思考，揭示本质问题4：既然是“任取”，那么我们干脆把两个点无限靠近，大家觉得可以得到什么.瞬时变化率，就是某点切线的斜率，也就是区间内任意一点处的导数都大于零.1212()()0'()0()fxfxfxfxxx为增函数问题3：结合上一章的变化率，观察这个式子和变化率有什么联系呢？平均变化率0xy，就是区间内任取两点的平均变化率大于零，也就是割线斜率大于0.函数单调性与其导数正负的关系：()(,)fxab设函数在定义域内的某个区间上可导,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减，函数为常函数.()fx()fx如果在某个区间内恒有，则是什么函数？'()0fx小结思考引例：（方法3:导数法）42x-(x)fR，函数导数为解：函数的定义域为的单调性讨论函数342xxy220,f(x),x,(x)f单调递减区间为的则解得再令,f(x)x,(x)f2,20单调递增区间为的则解的令的单调区间：求函数例163632)(123xxxxf1ln)(,,0xxf解：函数的定义域为),1()(.101lnexfexx单调递增区间是的则时，解得当)1,0()(.1001lnexfexx单调递减区间是的则时，解得当的单调区间求函数例1ln)(2xxxf练习：求下列函数的单调区间.xxxfln)()1(1)()2(xexfx思考交流函数单调性决定了函数图像的大致形状，如何根据导数信息来画函数的简图呢？2'()0;23'()0;3'()032'()0.xfxxfxxfxxxfx当时，当时，当时，；当或时，例3、已知函数f(x)的导函数f'(x)满足下列信息：试画出函数f(x)图像的大致形状.ABxyo23()yfx变式练习1：已知函数f(x)的导函数的图像如下图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是())('xfA变式练习2：函数()yfx在定义域3(,3)2内的图像如图所示．记()yfx的导函数为'()yfx，则'()0fx的解集为（）A．[，1]∪[2，3）B．[－1，]∪[，]C．[，]∪[1，2）D．（，－1]∪[，]∪[，3）A利用导数求函数单调区间的一般过程：先求函数f(x)的定义域求出导数f'(x)解不等式f'(x)0得函数单调递增区间解不等式f'(x)0得函数单调递减区间规范写出单调区间判断f'(x)的正负小结