江苏省苏北四市高三第三次数学模拟考试

徐州市2009/2010学年度高三年级第三次调研考试数学试题正题部分(总分160分,考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．若复数21(1)izaa(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a.12．已知函数52yx的定义域为集合P,N为自然数集,则集合PN中元素的个数为.33．若函数()sin()(0,0)fxAxA的部分图象如图所示，则的值为.44．在矩形ABCD中，2AB，3BC，以BC边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为.125．已知向量(sin,cos),(1,2)xxab，且//ab，则tanx.126．已知变量,xy满足236yxxyyx≤≥≥，则2zxy的最大值是.97．下面是一个算法的程序框图，当输入值x为8时，则其输出的结果是.28．在某次数学小测验后，老师统计了所任两个班级的数学成绩，并制成下面的频率分布表，请你估计这两个班的本次数学测验的平均分为.82分组人数频率60,70100.170,80300.380,90400.490,100200.2合计1001结束开始输出y输入x0x1()2xy3xxNY第7题图第8题图x5O1y22第3题图9．一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为________．11210．已知p：112x≤≤，q：()(1)0xaxa，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.10,211．在数列na中，若对任意的n均有12nnnaaa为定值（nN），且79982,3,4aaa，则此数列na的前100项的和100S.29912．已知椭圆22221(0)xyabab的离心率是63，过椭圆上一点M作直线,MAMB交椭圆于,AB两点，且斜率分别为12,kk，若点,AB关于原点对称，则12kk的值为.1313．已知扇形的圆心角为2（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为21tan2R，则按图二作出的矩形面积的最大值为.2tan2R14．设函数2()21fxxx，若1,ab且()(),fafb则abab的取值范围为.1,1二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．在三角形ABC中，已知2ABACABAC，设CAB，（1）求角的值；（2）若43cos(-)=7，其中5(,)36，求cos的值.22图一第13题图图二解：（1）由2ABACABAC，得2cosABACABAC所以1cos2，又因为0为三角形ABC的内角，所以3，…………………………………………6分（2）由（1）知：3sin2，且(0,)2，所以1sin()7…………………………………………8分故coscos()cos()cossin()sin＝4311333727214.…………………………………………14分16．如图，平面ABCD平面PAD,△APD是直角三角形，090APD，四边形ABCD是直角梯形,其中//BCAD,90BAD,BCAD2,的中点是ADO(1)求证：//CDPBO平面；(2)求证:PABPCD平面平面.16．证明：（1）因为2ADBC,且O是AD中点，所以ODBC，又//ADBC，所以//ODBC，所以四边形BCDO为平行四边形，…………………………………………2分所以//,CDBOCD平面PBO,且BO平面PBO,故//CD平面PBO,…………………………………………6分(2)因为90BAD，所以BAAD，又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD,AB平面ABCD,所以AB平面PAD,…………………………………………8分PD平面PAD，所以ABPD,,APPDABAPA，所以PD平面PAB,…………………………………………12分PD平面PCD，故平面PAB平面PCD.…………………………………………14分ADCBPO第16题图ADCBPO第16题图17．已知圆M的方程为22(2)1xy，直线l的方程为20xy，点P在直线l上，过P点作圆M的切线,PAPB，切点为,AB．（1）若60APB，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于,CD两点，当2CD时，求直线CD的方程；（3）求证：经过,,APM三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.解：（1）设(2,)Pmm，由题可知2MP，所以22(2)(2)4mm，解之得：40,5mm故所求点P的坐标为(0,0)P或84(,)55P．…………………………………………4分（2）设直线CD的方程为：1(2)ykx，易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为22，所以221221kk，…………………………………………6分解得，1k或17k，故所求直线CD的方程为：30xy或790xy．………………………8分（3）设(2,)Pmm，MP的中点(,1)2mQm，因为PA是圆M的切线所以经过,,APM三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：2222()(1)(1)22mmxmym……………………………10分化简得：222(2)0xyymxy，此式是关于m的恒等式，故2220,20,xyyxy解得02xy或1,1.xy所以经过,,APM三点的圆必过定点(0,2)或(1,1).…………………………………14分18．已知数列na是各项均不为0的等差数列，nS为其前n项和，且满足221nnaS，令11nnnbaa，数列nb的前n项和为nT.（1）求数列na的通项公式及数列nb的前n项和为nT；（2）是否存在正整数,mn(1)mn，使得1,,mnTTT成等比数列？若存在，求出所有的,mn的值；若不存在，请说明理由.17．解：（1）因为na是等差数列，由212121()(21)(21)2nnnnaanaSna，又因为0na，所以21nan，……2分由111111()(21)(21)22121nnnbaannnn，所以111111(1)2335212121nnTnnn．……6分(2)由(1)知，21nnTn，所以11,,32121mnmnTTTmn，若1,,mnTTT成等比数列，则21()()21321mnmn，即2244163mnmmn．……8分解法一：由2244163mnmmn，可得223241mmnm，所以22410mm，……12分从而：661122m，又mN，且1m，所以2m，此时12n．故可知：当且仅当2m，12n使数列nT中的1,,mnTTT成等比数列。……16分解法二：因为1136366nnn，故2214416mmm，即22410mm，……12分从而：661122m，（以下同上）．19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出*()xxN名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310()500xa万元(0)a，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高000.2x.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？19.（1）由题意得：000.10(1000)(1)2xx≥101000，…………………………4分即2500xx≤0,又0,x所以0x≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．…………………………………………6分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xax万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500xx万元，则00310())(1)5000.2xaxxx≤10(1000-，…………………………………………10分所以231000500xax≤212500xxx，所以ax≤221000500xx，即a≤210001500xx恒成立，…………………………………………12分因为21000500xx≥2210004500xx，当且仅当21000500xx，即500x时等号成立．所以5a≤，又0a，所以05a≤，即a的取值范围为(0,5]．…………………………………………16分20．设函数22()fxax（0a），()lngxbx．(1)若函数()yfx图象上的点到直线30xy距离的最小值为22，求a的值；(2)关于x的不等式2(1)()xfx的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；(3)对于函数()fx与()gx定义域上的任意实数x，若存在常数,km，使得()fxkxm和()gxkxm都成立，则称直线ykxm为函数()fx与()gx的“分界线”．设22a，be，试探究()fx与()gx是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．20．解：（1）因为22()fxax，所以2'()2fxax，令2'()21fxax得：212xa，此时214ya，…………2分则点2211(,)24aa到直线30xy的距离为22，即2211324222aa，解之得714a．…………4分（2）解法一：不等式2(1)()xfx的解集中的整数恰有3个，等价于22(1)210axx恰有三个整数解，故210a，…………6分令22()(1)21hxaxx，由(0)10h且2(1)0(0)haa，所以函数22()(1)21hxaxx的一个零点在区间(0,1)，则另一个零点一定在区间(3,2)，…………8分故(2)0,(3)0,hh解之得4332a．…………10分解法二：22(1)210axx恰有三个整数解，故210a，即1a，…………6分22(1)21(1)1(1)10axxaxax，所以1111xaa，又因为1011a，…………8分所以1321a，解之得4332a．…………10分（3）设21()()()ln2Fxfxgxxex，则2'()()()exexexeFxxxxx．所以当0xe时，'()0Fx；当xe时，'()0Fx．因此xe时，()Fx取得最小值0，则()fx与()gx的图象在xe处有公共点(,)2ee．…………12分设()fx与()gx存在“分界线”，方程为()2eykxe，即2eykxke，由()2efxkxke在xR恒成立，则2220xkxeke在xR恒成立．所以22244(2)4844()0kkeekkeeke成立，因此ke．…………14分下面证明()(0)2egxexx恒成立．设()ln2eGxexxe，则()()eeexGxexx．所以当0xe时，'()0Gx；