2016年山东省高考理科数学试题及答案

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z满足232i,zz其中i为虚数单位，则z=（A）1+2i（B）12i（C）12i（D）12i（2）设集合2{|2,},{|10},xAyyxBxxR则AB=（A）(1,1)（B）(0,1)（C）(1,)（D）(0,)（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56（B）60（C）120（D）140（4）若变量x，y满足2,239,0,xyxyxì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22xy+的最大值是（A）4（B）9（C）10（D）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A）1233π（B）1233π（C）1236π（D）216π（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件学.科.网（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（7）函数f（x）=（3sinx+cosx）（3cosx–sinx）的最小正周期是（A）2π（B）π（C）23π（D）2π（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cosm，n=13.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（A）4（B）–4（C）94（D）–94（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，3()1fxx；当11x时，()()fxfx；当12x时，11()()22fxfx.则f(6)=（A）−2（B）−1（C）0（D）2（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是（A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.(12)若（ax2+1x）3的展开式中x3的系数是—80，则实数a=_______.（13）已知双曲线E1：22221xyab（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.（14）在[1,1]-上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆22(5)9xy-+=相交”发生的概率为.（15）已知函数2||,()24,xxmfxxmxmxm其中0m，学.科网若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.三、解答题：本答题共6小题，共75分。（16）（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.17.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（II）已知EF=FB=12AC=23AB=BC.求二面角FBCA的余弦值.（18）（本小题满分12分）已知数列na的前n项和Sn=3n2+8n，nb是等差数列，且1.nnnabb（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）另1(1).(2)nnnnnacb求数列nc的前n项和Tn.（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX(20)(本小题满分13分)已知221()ln,xfxaxxaRx.（I）讨论()fx的单调性；（II）当1a时，证明3()'2fxfx＞对于任意的1,2x成立（21）本小题满分14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：222210xyabab＞＞的离心率是32，抛物线E：22xy的焦点F是C的一个顶点。（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，学科&网直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为1S，PDM的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点P的坐标.2016年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学试题参考答案一、选择题（1）【答案】B（2）【答案】C（3）【答案】D（4）【答案】C（5）【答案】C（6）【答案】A（7）【答案】B（8）【答案】B（9）【答案】D（10）【答案】A第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）【答案】3（12）【答案】-2（13）【答案】2（14）【答案】34（15）【答案】(3,)三、解答题（16）解析：由题意知sinsinsinsin2coscoscoscoscoscosABABABABAB，化简得2sincossincossinsinABBAAB，即2sinsinsinABAB.因为ABC,所以sinsinsinABCC.从而sinsin=2sinABC.由正弦定理得2abc.()由()知2abc,所以2222222cos22abababcCabab311842baab，当且仅当ab时，等号成立.故cosC的最小值为12.考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.（17）（I）证明：设FC的中点为I,连接,GIHI,在CEF△,因为G是CE的中点，所以,GIF//E又,FE//OB所以,GI//OB在CFB△中，因为H是FB的中点，所以//HIBC，又HIGII,所以平面//GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以//GH平面ABC.（II）解法一：连接'OO,则'OO平面ABC，又,ABBC且AC是圆O的直径，所以.BOAC以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题意得(0,23,0)B，(23,0,0)C，过点F作FMOB垂直于点M，所以223,FMFBBM可得(0,3,3)F故(23,23,0),(0,3,3)BCBF.设(,,)mxyz是平面BCF的一个法向量.由0,0mBCmBF可得23230,330xyyz可得平面BCF的一个法向量3(1,1,),3m因为平面ABC的一个法向量(0,0,1),n所以7cos,7||||mnmnmn.所以二面角FBCA的余弦值为77.解法二：连接'OO，过点F作FMOB于点M，则有//'FMOO,又'OO平面ABC，所以FM⊥平面ABC,可得223,FMFBBM过点M作MNBC垂直于点N，连接FN，可得FNBC,从而FNM为二面角FBCA的平面角.又ABBC,AC是圆O的直径，所以6sin45,2MNBM从而422FN，可得7cos.7FNM所以二面角FBCA的余弦值为77.考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（Ⅰ）由题意知当2n时，561nSSannn，当1n时，1111Sa，所以56nan.设数列nb的公差为d，由322211bbabba，即dbdb321721111，可解得3,41db，所以13nbn.（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)nnnnncnn，又nnccccT321，得23413[223242(1)2]nnTn，345223[223242(1)2]nnTn，两式作差，得234123[22222(1)2]nnnTn224(21)3[4(1)2]2132nnnnn所以223nnnT考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法（19）(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意，.EABCDABCDABCDABCDABCD由事件的独立性与互斥性，PEPABCDPABCDPABCDPABCDPABCDPAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPCPDPAPBPPAPBPCPDCPD323212323132=24343434343432.3,所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得1111104343144PX,31111211105124343434314472PX,31313112123112122524343434343434343144PX,32111132134343434312PX,3231321260542=4343434314412PX,32321643434PX.可得随机变量X的分布列为X012346P11445722514411251214所以数学期望15251512301234614472144121246EX.考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望(20)（Ⅰ）)(xf的定义域为),0(