2015年丰台区高三一模数学理试题及答案解析

1丰台区2015年高三年级第二学期统一练习（一）数学（理科）2015.3第一部分（选择题共40分）选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．在复平面内，复数7i34i对应的点的坐标为A．11，B．11，C．17125，D．1715，【解析】A；7i34i7i2128i3i41i34i34i34i9162．在等比数列na中，344aa，22a，则公比q等于A．2B．1或2C．1D．1或2【解析】B；注意容易忽略公比为1.3．已知双曲线2222100xyabab，的一条渐近线方程是3yx，它的一个焦点坐标为20，，则双曲线的方程为A．22126xyB．22162xyC．2213yxD．2213xy【解析】C；焦点坐标为20，，所以22224ab，渐近线方程为3yx，所以3ba，联立两个方程可得：1,3ab;4．当5n时，执行如图所示的程序框图，输出的S值是A．7B．10C．11D．162【解析】C；5．在极坐标系中，曲线26cos2sin60与极轴交于A，B两点，则A，B两点间的距离等于A．3B．23C．215D．4【解析】B；将极坐标化为直角坐标，则曲线为226260xyxy，即22314xy，所以，是一个圆心为3,1，半径为2的圆；因为到x轴的距离为1，半径为2，所以A，B两点间的距离为22221.6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是A．4B．5C．32D．33【解析】D；结束输出Sm=m+1S=S+m是否mnm=1，S=1输入n开始俯视图侧视图正视图313337．将函数1πcos26yx的图象向左平移π3个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是A．πcos6yxB．1cos4yxC．cosyxD．1πcos43yx【解析】C；向左平移则x变为π3x，函数变为1ππ1coscos2362yxx，横坐标变为一半时，则x变为2x，函数变为cosyx8．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B，C分别在x轴和y轴非负半轴上，点A在第一象限，且90BAC，4ABAC，那么O，A两点间距离的A．最大值是42，最小值是4B．最大值是8，最小值是4C．最大值是42，最小值是2D．最大值是8，最小值是2【解析】A；根据条件可知，A，B，C，O四点共圆，且BC为直径，所以AO最大值为该圆的直径42；AO的最小值为O点与B或C重合时，为4.第二部分（非选择题共110分）一、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．定积分π0cosxxdx．xyOCBA4【解析】2π2；π2π222001111cossinπsinπ0sin0π2222xxdxxx，10．已知二项式2nxx的展开式中各项二项式系数和是16，则n=，展开式中的常数项是．【解析】4；2411．若变量xy，满足约束条件40400yxyxy，，，≤≤≤则2zxy的最大值是．【解析】6；12．已知函数fx是定义在R上的偶函数，当0x≥时，22fxxx，如果函数gxfxmmR恰有4个零点，则m的取值范围是．【解析】1,0；13．如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，81ABBC，，则CD；AD．【解析】3；12105连接OD，OD=4，OC=5，OD垂直CD，所以CD=3，对AOD和DOC用余弦定理联立等式可解AD的长度.14．已知平面上的点集A及点P，在集合A内任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到集合A的距离，记作dPA，．如果集合|101Axyxyx，≤≤，点P的坐标为20，，那么dPA，=；如果点集A所表示的图形是边长为2的正三角形及其内部，那么点集|01DPdPA，≤所表示的图形的面积为．【解析】1；6π二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）DOBCA5已知函数21()cos3sincos(0)2222xxxfx的最小正周期为π．（Ⅰ）求的值及函数()fx的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数()fx的单调递增区间．【解析】⑴πsin6fxx，最小正周期为π=2，即πsin26fxx最大值为1，最小值为1⑵πππ2π22π,262kxkkZ≤≤2ππ2π22π,33kxkkZ≤≤ππππ,36kxkkZ≤≤()fx的单调递增区间为πππ,π36kkkZ16．（本小题共13分）甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R（单位：公里）可分为三类车型，A：80150R≤，B：150250R≤，C：250R≥．甲从A，B，C三类车型中挑选，乙从B，C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：车型概率人ABC甲15pq乙1434如果甲、乙都选C类车型的概率为310．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求甲、乙选择不同车型的概率；（Ⅲ）某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：车型ABC补贴金额（万元/辆）345记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X，求X的分布列．【解析】设甲选ABC，，类车型为事件111ABC，，，乙选BC，类车型为事件22BC，，⑴甲乙都选C类车型为事件D1233410PDPCPCq，所以25q，又1111PAPBPC，所以12155p，25p6⑵设甲乙选择不同车型为事件E1212212331154545PEPBPBPCPC⑶X的可取值为78910，，，1211175420PXPAPB1212211318+54544PXPAPCPBPB1212212329+54545PXPBPCPCPB12233105410PXPCPCX的分布列X78910P120142531017．（本题共14分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PABE∥，4ABPA，2BE．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求AFAB的值；如果不存在，说明理由．【解析】⑴取PA中点F，连接,EFDF，则四边形EFDC为平行四边形ECDF∥,DFPADECPAD面，面CE∥平面PAD⑵建立如图所示的空间直角坐标系，则000,400,440,040,004,402ABCDPE，，，，，，，，，，，，402PE，，,444PC，，，044PD，，设平面PCE的法向量为=,,nxyz，则EDCBAPFPABCDEzyxPABCDE700nPEnPC，即4204440xzxyz，即2zxyx，令1x，则1,1,2n设PD与平面PCE所成的角为，则3sin6nPDnPD⑶设0,0,0Fx，则442ED，，,042EFx，0，设平面DEF的法向量为1=,,nxyz，则1100nEDnEF，即04420420xyzxxz，令2z，则01004,,244xnxx平面DEF⊥平面PCE10nn，即00044044xxx，即0125x，即12,0,05F3=5AFAB18．（本题共13分）设函数exfxax，xR．（Ⅰ）当2a时，求曲线fx在点00f，处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：0fx；（Ⅲ）当1a时，求fx在0a，上的最大值．【解析】（Ⅰ）()e2xfxx，()e2xfx，(0)1f，所以切线方程为1yx（Ⅱ）x(,ln2)ln2(ln2,)()fx0+()fx极小值可以知道当ln2x是最小值，所以(ln2)22ln20f，因此()0fx（Ⅲ）()exfxax，()exfxa，FzyxPABCDE8令e0a，则lnxa，当1a时，ln0afx在(0,ln)a上单调递减，在(ln,)a上单调递增令ln1gaaaa，则110gaa，故ga在1，上单调递增，110gag，故lnaafx在0a，上的最大值为max{(0),()}ffa2(0)1,()affaea()2afaea，当1a时，0fa，所以()fa是单调递增的，()(1)11fafe所以最大值为2aea19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，右顶点A是抛物线28yx的焦点，直线:(1)lykx与椭圆C相交于P，Q两点．⑴求椭圆C的方程；⑵如果AMAPAQ，点M关于直线l的对称点N在y轴上，求k的值．【解析】（1）设右顶点(,0)Aa，A是抛物线28yx的焦点，则2a，由离心率32e，故3c，1b.所以椭圆的方程为2214xy.（2）设交点的坐标1122(,),(,)PxyQxy，点00(,)Mxy，由于点M与点N关于直线l对称且在y轴上，故直线MN的方程为001()yyxxk则点N的坐标为00(0,)xyk.所以点M与点N的中点000(,)22xxEyk在直线l上即000(1)22xxykk①根据AMAPAQ，得001212(2,)(4,)xyxxyy，1212()2yykxxk从而①式可得12122()0xxkxxk即212(1)()2kxx②联立方程22(1)14ykxxy，得22221()2104kxkxk则2122214kxxk，从而②式得2222(1)()214kkk9解得22k20．（本小题共13分）如果数列A：1a，2a，„，ma（mZ，且3m≥），满足：①iaZ，22imma≤≤（1i，2，„，m）；②121maaa，那么称数列A为“”数列．⑴已知数列M：2，1，3，1；数列N：0，1，0，1，1．试判断数列M，N是否为“”数列；⑵是否存在一个等差数列是“”数列？请证明你的结论；⑶如果数列A是“”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．【解析】⑴M不是，N是⑵不存在．用反证法，假设存在等差数列12maaa，，，是数列．由121maaa及1212mmmaaaaa，得112mmaa，即12maam．又1maaZ，则2mZ，但3m≥，所以2m不可能为整数，矛盾．因此不存在等差数列是数列．⑶用反证法．如果不存在，则0ia．我们构造如下的数列12mbbb，，，（都是A中若干项的和），这些ib若有一个为0，则命题成立，假设它们都不为0．先任取一个110iba，设11iba，有102mb≤；当0kb时，剩下的ia不可能都0