2012文科数学回归教材 4三角函数

OR1radR新课标——回归教材三角函数1.角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形.按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角.射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边.2.象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.3.弧度制:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1(rad)=018057.3,010.01745180(rad).弧长公式:||lR,扇形面积公式:211||22SlRR.典例:已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积.（答:22cm）4.终边相同的角的表示:(1)终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2()kkZ,注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.典例:与角1825的终边相同,且绝对值最小的角的度数是25,合536弧度.(2)终边在坐标轴上的角可表示为:,2kkZ.典例:的终边与6的终边关于直线yx对称,则＝2,3kkZ.(3)各种角的集合表示名称角度表示形式(kZ)弧度表示形式(kZ)第一象限角360,36090kk(2,2)2kk第二象限角36090,360180kk(2,2)2kk第三象限角360180,360270kk3(2,2)2kk第四象限角360270,360360kk3(2,22)2kk终边落在x轴上180,kkZ,kkZ终边落在y轴上18090,kkZ,2kkZ终边落在y=x轴上18045,kkZ,4kkZ终边落在y=-x轴上180135,kkZ3,4kkZ判断一个角的终边在哪个象限？是第几象限角？是解决后面一系列问题的基础.那么我们是如何判定？通常是把一个绝对值很大的角化成2,kkZ,0,2或者xyTAMPO是化成360,,0,360kkZ,这样只要判定是第几象限角就可以了.典例:(1)291033,因为3是第一象限角,所以293的终边也在第一象限;(2)790236070,因为70是第一象限角,所以790的终边也在第一象限.5.与2的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如图,若角终边在第一(二、三、四)象限,则角2的终边位于右图中标有数字1(2、3、4)区域.这个方法叫做等分象限法.典例:若是第二象限角,则2是第一、三象限角.6.任意角的三角函数的定义:设是任意一个角,P(,)xy是的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是220rxy,那么sin,cosyxrr,tan0yxx.三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P的位置无关.典例:(1)已知角的终边经过点P(5,－12),则sincos的值为713;(2)设是第三、四象限角,23sin4mm,则m的取值范围是32(1,);(3)若|sin|cos0sin|cos|,试判断cot(sin)tan(cos)的符号（答:负）7.三角函数线的特征是:正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“与圆O切在点(1,0)A处(起点是A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.典例:(1)若08,则sin,cos,tan的大小关系为tansincos;(2)若为锐角,则,sin,tan的大小关系为sintan;(3)函数12coslg(2sin3)yxx的定义域是2(2,2]()33kkkZ8.特殊角的三角函数值:30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin122232010－1624624cos32221210－10624624tan3313002-32+3cot3133002+32-39.同角三角函数的基本关系式:yx12341234y=xy=－x(1)平方关系:22sincos1;(2)商数关系:sintancos.同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号;在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.解题方法总结(1)已知一弦值,求正切.通常是利用2sin1cos、2cos1sin求另一弦值,然后利用sintancos求正切.要注意的象限,分象限定符号.(2)已知正切,求正弦、余弦值.方法一是解方程组.方法二是利用一个推导公式直接求,公式221cos1tan,222tansin1tan,不过还是要注意开根号时的正负的确定.(3)解题中常用的三种技巧:一、切化弦;二、1的代换;三、分子分母同时除以cos或者2cos.(4)解题中常用的两组公式:222(sincos)sincos2sincos12sincos;222(sincos)sincos2sincos12sincos.典例:(1)函数sintancoscoty的值的符号为大于0;(2)若022x,则使21sin2cos2xx成立的x的取值范围是3[0,][,]44;(3)已知3sin5mm,42cos()52mm,则tan＝512;(4)已知tan1tan1,则sin3cossincos＝53;2sinsincos2＝135;(5)已知sin200a,则tan160等于BA.21aaB.21aaC.21aaD.21aa;(6)已知(cos)cos3fxx,则(sin30)f的值为－1.10.三角函数诱导公式(2k)的本质是:奇变偶不变(对k而言,指k取奇数或偶数),符号看象限(看原函数,同时可把看成是锐角).诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:“负化正,大化小,化成锐角再查表”即:(1)负角变正角,再写成2k+,02;(2)转化为锐角三角函数.典例:(1)97costan()sin2146的值为2323;(2)已知4sin(540)5,则cos(270)45,若为第二象限角,则2[sin(180)cos(360)]tan(180)3100.11.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:正:sinsincoscossin;逆:22sincossin()abab,其中tanba.正:coscoscossinsin;逆:22cossincos()abab,其中tanba.正:tantantan1tantan;变:tantantan()(1tantan).正:22tansin22sincos1tan;变:21sin2(sincos)正:2222221tancos22cos112sincossin1tan;变:221cos22cos,1cos22sin(降角升幂公式),逆:221+cos21cos2cos,sin22＝＝(降幂升角公式);sin1costan21cossin(半角正切)典例:(1)下列各式中,值为12的是CA.sin15cos15B.22cossin1212C.2tan22.51tan22.5D.1cos302(2)命题P:tan()0AB,命题Q:tantan0AB,则P是Q的C条件.A、充要B、充分不必要C、必要不充分D、既不充分也不必要;(3)已知3sin()coscos()sin5,那么cos2的值为725;(4)13sin10sin80的值是4;(5)已知0tan110a,求0tan50的值(用a表示)甲求得的结果是313aa,乙求得的结果是212aa,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是甲、乙都对.12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点通常是分式要因式分解、通分后约分、根号下配方后开方.基本的技巧有:★★★(1)巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如:()(),2()(),2()(),22,222等.典例:(1)已知2tan()5,1tan()44,那么tan()4的值是322;(2)已知02,且1cos()29,2sin()23,求cos()的值239729;(3)若,为锐角,3sin,cos,cos()5xy,则y与x的函数关系为23431(1)555yxxx.(2)三角函数名互化(切化弦),典例:(1)求值sin50(13tan10)=1;(2)已知sincos21,tan()1cos23,求tan(2)的值18(3)公式变形使用（tantantan1tantan.典例:(1)已知A、B为锐角,且满足tantantantan1ABAB,则cos()AB＝22;(2)ABC中,tantan33tantanABAB,3sincos4AA,则此三角形是等边三角形.(4)三角函数次数的降升(降幂公式:21cos2cos2,21cos2sin2与升幂公式:21cos22cos,21cos22sin).典例:(1)若3(,)2,化简1111cos22222为sin2;(2)2()5sincos53cosfxxxx53()2xR的单调递增区间为5[,]()1212kkkZ.(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).典例:(1)tan(cossin)sintancotcsc=sin;(2)求证:21tan1sin212sin1tan22;(3)化简:42212cos2cos22tan()sin()44xxxx=1cos22x.(6)常值变换主要指“1”的变换（221sincosxxtansin42等）典例:已知tan2,求22sinsincos3cos=35.(7)正余弦“三兄妹—sincossincosxxxx、”的内存联系—“知一求二”.典例:(1)若sincosxxt,则sincosxx