2012文科数学回归教材 3导数

新课标——回归教材导数1.导数的背景:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度.典例:一物体的运动方程是21stt,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3t时的瞬时速度为5米/秒.2.导函数的概念:如果函数()fx在开区间(,)ab内可导,对于开区间(,)ab内的每一个0x,都对应着一个导数0fx,这样()fx在开区间(,)ab内构成一个新的函数,这一新的函数叫做()fx在开区间(,)ab内的导函数,记作00limlimxxfxxfxyfxyxx,简称导数.3.求()yfx在0x处的导数的步骤:(1)求函数的改变量00yfxxfx;(2)求平均变化率00fxxfxyxx;(3)取极限,得导数00limxyfxx.4.导数的几何意义:函数()fx在点0x处的导数的几何意义,就是曲线()yfx在点0,0Pxfx处的切线的斜率,即曲线()yfx在点0,0Pxfx处的切线的斜率是0fx,相应地切线的方程是000yyfxxx.特别提醒:(1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条;(2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是不在曲线上,只有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是0()fx.典例:(1)P在曲线323yxx上移动,在点P处的切线的倾斜角为,则3[0,)[,)24;(2)直线31yx是曲线3yxa的一条切线,则实数a的值为－3或1;(3)若函数321()22fxxxm(m为常数)图象上A处的切线与30xy的夹角为4,则A点的横坐标为160或;(数形结合,可知切线的倾斜角只能为0或900(舍去))(4)曲线31yxx在点(1,3)处的切线方程是410xy;(5)已知函数322()43fxxaxx,又'()yfx的图象与x轴交于(,0),(2,0),0kkk.①求a的值;②求过点(0,0)的曲线()yfx的切线方程（答:①1;②4yx或358yx）.5.导数的公式、法则:(1)常数函数的导数为0,即0C（C为常数）;(2)1nnxnxnQ,与此有关的常用结论:1122111,2xxxxxx;(3)11ln(sin)cos;(cos)sin;(),()ln;(ln),(log)xxxxxaxaxxxxeeaaaxx(4)[()()]()()fxgxfxgx;[()]()CfxCfx;()()2()()()()[](()0)()fxgxfxgxgxfxgxgx典例:(1)已知函数()mnfxmx的导数为3()8fxx,则nm14;(2)函数2(1)(1)yxx的导数为2321yxx;(3)若对任意xR,3()4,(1)1fxxf,则()fx是4()2fxx.6.多项式函数的单调性:(1)多项式函数的导数与函数的单调性:①若()0fx,则()fx为增函数;若()0fx,则()fx为减函数;若()0fx恒成立,则()fx为常数函数;若()fx的符号不确定,则()fx不是单调函数.②若函数()yfx在区间(,)ab上单调递增,则()0fx,反之等号不成立;若函数()yfx在区间(,)ab上单调递减,则()0fx,反之等号不成立.典例:(1)函数32()(,,)fxxaxbxcabcR,当230ab时,()fx的单调性是增函数;(2)设0a函数3()fxxax在[1,)上单调函数,则实数a的取值范围03a;(3)已知函数3()(fxxbxb为常数）在区间(0,1)上单调递增,且方程()0fx的根都在区间[2,2]内,则b的取值范围是[3,4];(4)已知2()1fxx,42()22gxxx,设()()()xgxfx,试问是否存在实数,使()x在(,1)上是减函数,并且在(1,0)上是增函数？（答:4）(2)利用导数求函数单调区间的步骤:(1)求()fx;(2)求方程()0fx的根,设根为12,,nxxx;(3)12,,nxxx将给定区间分成n+1个子区间,再在每一个子区间内判断()fx的符号,由此确定每一子区间的单调性.典例:设函数32()fxaxbxcx在1,1x处有极值,且(2)2f,求()fx的单调区间.（答:递增区间（－1,1）,递减区间,1,(1,)）7、函数的极值:(1)定义:设函数()fx在点0x附近有定义,如果对0x附近所有的点,都有0()()fxfx,就说是0()fx函数()fx的一个极大值.记作y极大值＝0()fx,如果对0x附近所有的点,都有0()()fxfx,就说是0()fx函数()fx的一个极小值.记作y极小值＝0()fx.极大值和极小值统称为极值.(2)求函数()yfx在某个区间上的极值的步骤:（i）求导数()fx;（ii）求方程()0fx的根0x;（iii）检查()fx在方程()0fx的根0x的左右的符号:“左正右负”()fx在0x处取极大值;“左负右正”()fx在0x处取极小值.特别提醒:(1)0x是极值点的充要条件是0x点两侧导数异号,而不仅是0fx＝0,0fx＝0是0x为极值点的必要而不充分条件.(2)给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑0()0fx,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件没有用完,这一点一定要切记！典例:(1)函数23(1)1yx的极值点是(C)A、极大值点1xB、极大值点0xC、极小值点0xD、极小值点1x;(2)函数3221fxxaxbxax在处有极小值10,则a+b的值为－7;(3)已知32()fxxbxcxd在区间[－1,2]上是减函数,那么b＋c有最大值152.特别小结:三次函数32()(0)fxaxbxcxda的极值情况.记其导函数2()320fxaxbxc的判别式为2412bac,其图象对称轴为3bxa.则(1)若24120bac时,三次函数()fx无极值,①当0a时,()0fx,()fx在定义域上递增;②当0a时,()0fx,()fx在定义域上递减.(2)若24120bac时,记()0fx的两根为12xx,则三次函数()fx有极值,且①当0a时,12()(),()()fxfxfxfx极大值极小值(简称为左大右小);②当0a时,12()(),()()fxfxfxfx极小值极在值(简称为左小右大);综上,三次函数32()(0)fxaxbxcxda有极值的充要条件为24120bac.(3)三次函数32()(0)fxaxbxcxda都有对称中心,其坐标为(,())33bbfaa.典例:已知函数32()(6)1fxxaxax有极值,则实数a的取值范围是63aa或;8.函数的最大值和最小值:(1)定义:函数()fx在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”;函数()fx在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”.(2)求函数()yfx在[,ab]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数()yfx在(,)ab内的极值（极大值或极小值）;(2)将()yfx的各极值与()fa,()fb比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.典例:(1)函数3223125yxxx在[0,3]上的最大值、最小值分别是5,15;(2)用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m.那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.（答:高为1.2米时,容积最大为395cm）特别注意:(1)利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时,要注意列表！(2)要善于应用函数的导数,考察函数单调性、最值(极值),研究函数的性态,数形结合解决方程不等式等相关问题.典例:(1)()fx是()fx的导函数,()fx的图象如下图所示,则()fx的图象只可能是(D)(2)图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图象大致是(C)(3)方程3269100xxx的实根的个数为1;(4)已知函数32()fxxaxx,抛物线2:Cxy,当(1,2)x时,函数()fx的图象在抛物线2:Cxy的上方,求a的取值范围（答:1a）.(5)求证:1ln1(0)xxxxx(构造函数法)