专题能力训练16

Gothedistance1专题能力训练16直线与圆能力突破训练1.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-82.(2015全国Ⅱ高考)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.√213C.2√53D.433.已知直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2√3,则实数k的取值范围是()A.(-∞,-125)B.(-∞,-125]C.(-∞,125)D.(-∞,125]4.(2015全国Ⅱ高考)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2√6B.8C.4√6D.105.已知圆C:x2+y2=1,过第一象限内一点P(a,b)作圆C的两条切线,切点分别为A,B.若∠APB=60°,则a+b的最大值为.6.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为.7.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点F关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为.8.(2015河北邢台二模)已知P是抛物线y2=4x上的动点,过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-√3y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2√3,求直线MN的方程;(3)设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围.10.已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.Gothedistance211.(2015全国Ⅰ高考)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12,其中O为坐标原点,求|MN|.思维提升训练12.已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,则四边形PACB面积的最小值是()A.√2B.2√2C.√3D.2√313.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是()A.(0,1)B.(1-√22,12)C.(1-√22,13]D.[13,12)14.直线√2ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为.15.Gothedistance3(2015河南六市高三一联)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2√3,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.16.已知以点C(𝑡,2𝑡)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△AOB的面积为定值;(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.参考答案Gothedistance4能力突破训练1.B解析:由圆的方程x2+y2+2x-2y+a=0可得,圆心为(-1,1),半径r=√2-𝑎.圆心到直线x+y+2=0的距离为d=|-1+1+2|√2=√2.由r2=d2+(42)2,得2-a=2+4,所以a=-4.2.B解析:由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点设为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-√32=√33(𝑥-12),它与x=1联立得圆心P的坐标为(1,2√33),则|OP|=√12+(2√33)2=√213.3.B解析:当|MN|=2√3时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直线y=kx+3的距离为√4-(√3)2=1,即|𝑘+5|√1+𝑘2=1,解得k=-125.若使|MN|≥2√3,则k≤-125.4.C解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得{𝐷+3𝐸+𝐹+10=0,4𝐷+2𝐸+𝐹+20=0,𝐷-7𝐸+𝐹+50=0,解得{𝐷=-2,𝐸=4,𝐹=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|=√(𝑦1+𝑦2)2-4𝑦1𝑦2=√16+80=4√6.5.2√2解析:∵P(a,b),∴|PO|=√𝑎2+𝑏2(a0,b0).∵∠APB=60°,∴∠APO=30°,∴|PO|=2|OB|=2.∴√𝑎2+𝑏2=2,即a2+b2=4,∴(a+b)2≤2(a2+b2)=8(当且仅当a=b时取等号),∴a+b的最大值为2√2.6.(x-1)2+y2=1解析:因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以a=1,b=0.又根据|3×1+4×0+2|√32+42=1=r,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.7.x2+(y-1)2=10解析:抛物线y2=4x的焦点F(1,0)关于直线y=x的对称点C(0,1)是圆心,C到直线4x-3y-2=0的距离d=|4×0-3×1-2|5=1.∵圆截直线4x-3y-2=0的弦长为6,∴圆的半径r=√12+32=√10.∴圆方程为x2+(y-1)2=10.8.√26-1解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=√(2-1)2+(5-0)2=√26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=√26-1.9.解:(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-√3y=4的距离,即r=4√1+3=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.Gothedistance5则圆心O到直线MN的距离d=|𝑚|√5.由垂径定理,得𝑚25+(√3)2=22,即m=±√5.所以直线MN的方程为2x-y+√5=0或2x-y-√5=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得√(𝑥+2)2+𝑦2·√(𝑥-2)2+𝑦2=x2+y2,即x2-y2=2.因为𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),因为点P在圆O内,所以{0≤𝑥2+𝑦24,𝑥2-𝑦2=2.由此得0≤y21.所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围为[-2,0).10.解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取点A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4|A'A|.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=√3,b=1,故曲线Γ的方程为𝑥24+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.设B(x0,y0),则x0(x0-√3)+𝑦02=0.又𝑥024+𝑦02=1,解得x0=2√3,y0=±√2√3.则kOB=±√22,kAB=∓√2,则直线AB的方程为y=±√2(x-√3),即√2x-y-√6=0或√2x+y-√6=0.11.解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2𝑘-3+1|√1+𝑘21.解得4-√73k4+√73.所以k的取值范围为(4-√73,4+√73).(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+𝑘)1+𝑘2,x1x2=71+𝑘2.𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x1x2+y1y2Gothedistance6=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4𝑘(1+𝑘)1+𝑘2+8.由题设可得4𝑘(1+𝑘)1+𝑘2+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.思维提升训练12.C解析:如图所示,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径为r=1.根据对称性可知四边形PACB的面积等于2S△APC=2×12|PA|r=|PA|,则当|PA|最小时,四边形PACB的面积最小.因为|PA|=√|𝑃𝐶|2-1,所以当|PC|最小时,|PA|最小,此时,直线CP垂直于直线l:3x-4y+11=0.因为|PC|的最小值为圆心C到直线l:3x-4y+11=0的距离d=|3-4+11|√32+42=105=2,所以|PA|=√|𝑃𝐶|2-1=√22-1=√3.故四边形PACB面积的最小值为√3.13.B解析:由题意可得,△ABC的面积为S=12·AB·OC=1,由于直线y=ax+b(a0)与x轴的交点为M(-𝑏𝑎,0),由-𝑏𝑎≤0可得点M在射线OA上.设直线和BC的交点为N,又直线BC的方程为x+y=1,则由{𝑦=𝑎𝑥+𝑏,𝑥+𝑦=1,可得点N的坐标为(1-𝑏𝑎+1,𝑎+𝑏𝑎+1).①若点M和点A重合,则点N为线段BC的中点,则-𝑏𝑎=-1,且𝑎+𝑏𝑎+1=12,解得a=b=13.②若点M在点O和点A之间,则点N在点B和点C之间,由题意可得△NMB的面积等于12,即12·|MB|·yN=12,即12·(1+𝑏𝑎)·𝑎+𝑏𝑎+1=12,解得a=𝑏21-2𝑏0,则b12.③若点M在点A的左侧,则-𝑏𝑎-1,ba,设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由{𝑦=𝑎𝑥+𝑏,𝑦=𝑥+1,求得点P的坐标为(1-𝑏𝑎-1,𝑎-𝑏𝑎-1),此时,NP=√(1-𝑏𝑎+1-1-𝑏𝑎-1)2+(𝑎+𝑏𝑎+1-𝑎-𝑏𝑎-1)2=√[-2(1-𝑏)(𝑎+1)(𝑎-1)]2+[2𝑎(𝑏-1)(𝑎+1)(𝑎-1)]2Gothedistance7=√4(1+𝑎2)(1-𝑏)2(𝑎+1)2(𝑎-1)2=2|1-𝑏||(𝑎+1)(𝑎-1)|√1+𝑎2,此时,点C(0,1)到直线y=ax+b的距离为|0-1+𝑏|√1+𝑎2=|𝑏-1|√1+𝑎2,由题意可得,△CPN的面积等于12,即12