湖南省师大附中2014年高二上数学期末试题及答案(文)

数学(文科)满分：100分(必考Ⅰ部分)50分(必考Ⅱ部分)时量：120分钟(考试范围：选修1－1及1－2)命题人：黄祖军王朝霞得分：______________必考Ⅰ部分一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z＝(1＋ai)·(2＋i)是纯虚数，则实数a的值为A．2B．－12C.12D．－22．如图所示是数列一章的知识结构图，下列说法正确的是A．“概念”与“分类”是从属关系B．“等差数列”与“等比数列”是从属关系C．“数列”与“等差数列”是从属关系D．“数列”与“等比数列”是从属关系，但“数列”与“分类”不是从属关系3．下列说法中错误．．的是A．对于命题p：x0∈R，sinx01，则綈p：x∈R，sinx≤1；B．命题“若0a1，则函数f(x)＝ax在R上是增函数”的逆命题为假命题；C．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题；D．命题“若x2－x－2＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－x－2≠0”．4．“1k7”是“方程x2k－2＋y2k－6＝1表示双曲线”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件5．某工厂生产某种产品的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)有如下几组样本数据：x3456y2.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是A.y^＝0.7x＋0.35B.y^＝0.7x＋1C.y^＝0.7x＋2.05D.y^＝0.7x＋0.456．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为A．V＝13abcB．V＝13ShC．V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)D．V＝13(ab＋bc＋ac)h，(h为四面体的高)7．函数f(x)＝15x5－x4－4x3＋7的极值点的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知椭圆x225＋y29＝1，F1、F2分别为其左、右焦点，椭圆上一点M到F1的距离是2，N是MF1的中点，则|ON|(O为原点)的长为A．1B．2C．3D．4选择题答题卡题号12345678得分答案二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．9．已知复数z＝1＋1－i1＋i，则|z－|＝____________．10．读下面的程序框图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中的白色地面砖有______________块．12．曲线f(x)＝xsinx在点π2，π2处的切线方程是______________．13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b0)的顶点到渐近线的距离等于a2，则双曲线的离心率e是________．三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．14．(本小题满分11分)在某测试中，卷面满分为100分，60分及以上为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特对复习中进行午休和不进行午休的考生进行了测试成绩的统计，数据如下表所示：分数段[29～40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]午休考生人数23473021143114不午休考生人数1751671530173参考公式及数据：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879(1)根据上述表格完成列联表：及格人数不及格人数总计午休不午休总计(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系？对今后的复习有什么指导意义？15．(本小题满分12分)已知：a，b，c0.求证：a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥6abc.16.(本小题满分12分)已知抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，过焦点的直线与抛物线交于不同两点A，B，直线OA(O为原点)交准线l于点M，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)求证：y1y2是一个定值；(2)求证：直线MB平行于x轴．必考Ⅱ部分一、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．1．从抛物线x2＝4y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．二、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．已知定义在R上的函数f(x)的导数是f′(x)，若f(x)是增函数且恒有f(x)0，则下列各式中必成立的是A．2f(－1)f(－2)B．3f(－2)2f(－3)C．2f(1)f(2)D．3f(2)2f(3)三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．3．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝－x3＋3x.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)当x∈[0，a]，a0时，设f(x)的最大值是h(a)，求h(a)的表达式．4.(本小题满分13分)(1)证明：xlnx≥x－1；(2)讨论函数f(x)＝ex－ax－1的零点个数．5.(本小题满分14分)如图，已知焦点在x轴上的椭圆x28＋y2b2＝1(b0)有一个内含圆x2＋y2＝83，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且OM→⊥ON→(O为原点)．(1)求b的值；(2)设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.求证：OA→⊥OB→，并求|AB|的取值范围．湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(文科)参考答案必考Ⅰ部分(100分)6．C【解析】△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A－BCD的内切球球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝13(S1＋S2＋S3＋S4)r.7．B【解析】f′(x)＝x4－4x3－12x2＝x2(x＋2)(x－6)，所以f(x)有两个极值点x＝－2及x＝6.8．D【解析】据椭圆的定义，由已知得|MF2|＝8，而ON是△MF1F2的中位线，故|ON|＝4.二、填空题9.210．2【解析】①A＝－5＜0，②A＝－5＋2＝－3＜0，③A＝－3＋2＝－1＜0，④A＝－1＋2＝1＞0，⑤A＝2×1＝2.11．4n＋2【解析】第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n＋2块．12．x－y＝013.233【解析】由题意知ba＝tan30°＝33e＝ca＝233.∵K2≈5.75.024，因此，有97.5%的把握认为午休与考生及格有关系，即能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系．(10分)对今后的复习的指导意义就是：在以后的复习中，考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．(11分)(2)据题意设Ay214，y1，M(－1，yM)，(8分)由A、M、O三点共线有y1y214＝yM－1y1yM＝－4，(10分)又y1y2＝－4则y2＝yM，故直线MB平行于x轴．(12分)必考Ⅱ部分(50分)一、填空题1．10【解析】设P(xP，yP)，∵|PM|＝|PF|＝yP＋1＝5，∴yP＝4，则|xP|＝4，S△MPF＝12|MP||xP|＝10.二、选择题2．B【解析】由选择支分析可考查函数y＝f（x）x的单调性，而f′(x)0且f(x)0，则当x0时f（x）x′＝xf′（x）－f（x）x20，即函数f（x）x在(－∞，0)上单调递减，故选B.三、解答题3．【解析】(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分)列表如下：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)递减极小值递增极大值递减所以：f(x)的递减区间有：(－∞，－1)，(1，＋∞)，递增区间是(－1，1)；f极小值(x)＝f(－1)＝－2，f极大值(x)＝f(1)＝2.(7分)w(2)由(1)知，当0a≤1时，f(x)在[0，a]上递增，此时fmax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)当a1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，即当x∈[0，a]时fmax(x)＝f(1)＝2(12分)综上有h(a)＝－a3＋3a，a∈（0，1]，2，a∈（1，＋∞）.(13分)4．【解析】(1)设函数φ(x)＝xlnx－x＋1，则φ′(x)＝lnx(1分)则φ(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，(3分)φ(x)有极小值φ(1)，也是函数φ(x)的最小值，则φ(x)≥φ(1)＝1×ln1－1＋1＝0故xlnx≥x－1.(5分)(2)f′(x)＝ex－a(6分)①a≤0时，f′(x)0，f(x)是单调递增函数，又f(0)＝0，所以此时函数有且仅有一个零点x＝0；(7分)②当a0时，函数f(x)在(－∞，lna)上递减，在(lna，＋∞)上递增，函数f(x)有极小值f(lna)＝a－alna－1(8分)ⅰ.当a＝1时，函数的极小值f(lna)＝f(0)＝a－alna－1＝0则函数f(x)仅有一个零点x＝0；(10分)ⅱ.当0a1或a1时，由(1)知极小值f(lna)＝a－alna－10，又f(0)＝0当0a1时，lna0，易知x－∞时，ex0，－ax－1＋∞，故此时f(x)＋∞，则f(x)还必恰有一个小于lna的负根；当a1时，2lnalna0，计算f(2lna)＝a2－2alna－1考查函数g(x)＝x2－2xlnx－1(x1)，则g′(x)＝2(x－1－lnx)，再设h(x)＝x－1－lnx(x1)，h′(x)＝1－1x＝x－1x0故h(x)在(1，＋∞)递增，则h(x)h(1)＝1－1－ln1＝0，所以g′(x)0，即g(x)在(1，＋∞)上递增，则g(x)g(1)＝12－2×1×ln1－1＝0即f(2lna)＝a2－2alna－10，则f(x)还必恰有一个属于(lna，2lna)的正根．故0a1或a1时函数f(x)都是恰有两个零点．综上：当a∈(－∞，0]∪{1}时，函数f(x)恰有一个零点x＝0，当a∈(0，1)∪(1，＋∞)时函数f(x)恰有两个不同零点.(13分)5．【解析】(1)当MN⊥x轴时，MN的方程是x＝±83，设M±83，y1，N±83，－y1w由OM→⊥ON→知|y1|＝83，即点83，83在椭圆上，代入椭圆方程得b＝2.(3分)(2)当l⊥x轴时，由(1)知OA→⊥OB→；当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0则|m|1＋k2＝833m2＝8(1＋k2)(5分)y＝kx＋mx28＋y24＝1(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0,Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝323(4k2＋1)0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1＋x2＝－4km1＋2k2x1x2＝2m2－81＋2k2，(7分)x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2（1＋k2）（2m2－8）1＋2k2－4k2m21＋2k2＋m2xkb1.com＝3m2－8（1＋k2）1＋2k2＝0，即OA→⊥OB→.即椭圆的内含圆x2＋y2＝83的任意切线l交椭圆于点A、B时总有OA→⊥OB→.(9分)(2)当l⊥x轴时，易知|AB|