高三第一轮复习数学

高三第一轮复习数学---圆锥曲线的综合应用（2）一、教学目标：进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法．二、教学重点：巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法．三、教学过程：（一）主要知识：（二）例题分析：[例1]（2001全国高考）已知抛物线22(0)ypxp的弦AB过抛物线的焦点，C点在抛物线的准线上，//BCx轴，证明：直线AC过原点。（目的：进一步探讨抛物线的几何性质）【解析】利用方程求解因为抛物线22(0)ypxp的焦点坐标是(,0)2pF设直线AB的方程是：2pxmy代入抛物线方程得：2220ypmyp，设1122(,),(,)AxyBxy，则C点坐标为2(,)2py则222121122,2,2yypypxypx因为//BCx轴，C点在抛物线的准线上，直线CO的斜率22111222COAOyyypkkppyx，所以直线AC过原点。（解法二）向量法[例2]如图，垂直于x轴的直线l于与圆F:2220xyx相切，P为坐标平面内一动点，PQ⊥l于Q，且2PQPF.（Ⅰ）求点P的轨迹方程;（Ⅱ）过圆心F作直线交点P的轨迹于A、B两点,若32AOOFOB，求点A、B的坐标.（目的：综合运用直线、圆、椭圆的几何性质解决相关问题）【解析】（Ⅰ）由条件，22:(1)1(1,0)FxyF设点(,)Pxy2222(1)2PQPFxyx化简得所以，2212xy即为所求点P的轨迹方程。PFlyxQO（Ⅱ）设过F的直线方程为1122:(1),(,),(,)lykxAxyBxy，因为32AOOFOB可知k存在，且有121,1221223()(3,0)2(,)(1)20xxxyxyyy又有22222(1)2(1)2012ykxxkxxy即2222(12)4220kxkxk且2122221222212880(2)412kxxkkkxxk由（1），（2）得212222222711451423,(,),(,)224482321kxkkABkxk[例3]已知OFQ的面积为S，且1OFFQ建立如图所示的直角坐标系。（I）若1,22SOF求向量FQ所在的直线方程；(II）设3(2),,4OFccSc若以O为中心、F为焦点的椭圆经过点Q，求当OQ取得最小值时，椭圆的方程。（目的：综合运用函数的性质、向量、导数的有关知识、方法解决问题）【解析】（I）设00(,)Qxy002,(2,0)(2,0),(2,)OFFOFFQxy0052(2)1,,2OFFQxx0001111512,,(,)222222SOFyyyQFQ所在的直线方程为2yx或2yx。(II）00001,(,0),(,),()1OFcFcFQxcyOFFQcxcxcc又22001331319,,(,).()24224ScycyQcOQccc令1()(2),gcccc则''21()1,2,()0,()gccgcgcc在[2,]上递增，min5()(2).2gcg此时2,cOQ取最小值，53(,).22Q由题意，设椭圆方程22221(0)xyabab[例4]已知：OPF面积为3,2,OFFP以O为中心，F为焦点的双曲线过点P。（I）求OFP的大小；(II）若P点到中心O的距离为P点到两焦点距离的比例中项，请建立恰当的坐标系，写出双曲线的方程【解析】设,,,OFPOFcPFm01sin3,tan3,120,2cos()2Cmcm即0,120OFP（2）以O为坐标原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，设双曲线方程为22221(0,0),xyabFab点关于O的对称点为'F，',PFn则据题知：2,POmn由（1）得4cm（1），又222222cos4,POOFPFOFPFOFPcm224(2)mncm2222'(2)(2)22,POOFPFPF2224422,mncnm即22()2,nmc,2(3),nmnmc22,,2nmaac222,bca2,2bc由（1），（2），（3）可得2424,c22222.ab所以曲线方程为221.222222xy（三）巩固练习：1．以过椭圆的右焦点的弦为直径的圆与其右准线的位置关系为（）（A）相交（B）相切（C）相离（D）不能确定（目的：理解并引申以过焦点弦为直径的圆与圆锥曲线相应准线的位置关系）【答案】（C）【解析】利用椭圆的第二定义及离心率小于1的特性。2．双曲线22221xyab的离心率2e，焦点到其中一条渐进线的距离为2，AB、是双曲线上关于y轴对称的两点，O为坐标原点，则OAOB等于（）（A）4（B）4（C）2（D）2（目的：掌握等轴双曲线的离心率、渐进线的特征及其对称性）【答案】（A）【解析】由2e得ab由焦点到渐进线的距离为2，得2b故双曲线的方程为224,xy设(,)Axy则(,)Bxy，224OAOBxy3．抛物线22(0)ypxp的动弦AB长为(2)aap，则AB中点M到y轴的最短距离是（）（A）2a（B）2p（C）2ap（D）2ap（目的：理解并掌握抛物线的定义）【答案】（D）【解析】2,ap利用抛物线的定义可得。4．已知椭圆22221(0)xyabab，F为左焦点，A为左顶点，B为上顶点，C为下顶点，且0ABCF则椭圆的离心率为。（目的：掌握利用条件列出,,abc的关系，从而求出离心率）【答案】152e【解析】222(,0),(0,),(0,),(,0)000AaBbCbFcABCFacbacac解出e。5．双曲线G的中心在原点，以坐标轴为对称轴，并且与圆2217xy的一个交点为(4,1)A，如果圆在A点的切线与G的渐进线平行，则G的方程是。（目的：利用渐进线求双曲线方程）【答案】2216255xy【解析】圆2217xy在A点的切线方程为417xy，设G的方程为(4)(4)(0)xyxyG过点(4,1)A255四、小结：1、与圆锥曲线的几何性质相关的问题有“中点弦”问题、对称性问题、最值问题等，若条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑用图形性质来解决；若条件和结论能明显体现一种明确的函数关系，则可考虑先建立目标函数，再利用求最值常用的配方法、判别式法、不等式法及函数的单调性法。2、解析几何也可以与数学的其他知识想联系，例如与向量知识相联系是一个主要的趋势，这时在解题时，要能够顺利地实现一知识向另一知识的转化。五、作业：