《高等数学》空间向量与空间解析几何

第7章向量代数与空间解析几何知识目标了解二次曲面的标准方程；理解空间直角坐标系、向量的概念；会判断平面与平面、直线与直线以及直线与平面间的关系；掌握向量的线性运算、向量平行和垂直的条件、几种常见的曲面方程；熟练掌握两点间的距离公式、平面与直线的各种方程.能力目标通过几何问题代数化，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象能力.德育目标借助数形结合的思想，将研究问题的不同方法进行联结，提高学生的综合素质与人文素养.7.1空间向量及其线性运算了解空间向量的概念,掌握空间向量的基本定理及其意义,建立空间直角坐标系，以向量为工具,利用空间向量的坐标和相关运算解决空间中的几何问题.7.1.1空间直角坐标系通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握住z轴,当右手的四个手指从正向x轴以90度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正方向.过空间一个定点O,作三条相互垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位,这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),统称坐标轴.这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系Oxyz,点O叫做坐标原点(或原点).这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称为一个卦限.x、y、z轴的正半轴的卦限称为第I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆时针方向先后出现的卦限依次称为第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限;第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限下面的空间部分依次称为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限.每两个坐标轴确定的平面称为坐标平面,简称为坐标面.x轴与y轴所确定的坐标面称为xOy面,类似地,有yOz面,zOx面.xyzⅧⅦⅥⅤⅣⅠⅢⅡOxyzⅧⅦⅥⅤⅣⅠⅢⅡOxyzⅧⅦⅥⅤⅣⅠⅢⅡO八封限1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个封限？A（1，-2，3）B（2，3，-4）C（2，-3，4）D（-2，-2，1）练习2.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.A（3，4，0）B（0，4，3）C（3，0，0）D（0，-1，0）空间中的任意一点P与唯一一组有序数组x、y、z之间建立起一一对应的关系.点坐标xyOxyzOPABC这组数就叫做点P的坐标，并依次称x、y、z为点P的横坐标、纵坐标和竖坐标,记为P(x,y,z).xyz(x,y,z)两点间距离（△M1PQ都是直角三角形）2d2221QMQM221MM22221QMPQPM任取空间两点M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),它们之间的距离为d=|M1M2|.过点M1、M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴,形成如图的长方体.（△M1QM2是直角三角形）zOxyx1y1z1M1M2P1M2MQ()PQ222221QMMPPM212212212)()()(zzyyxxz2y2x221221221221zzyyxxMMd222zyxOMd两点间距离公式：特别地，点M(x,y,z)与原点O(0,0,0)的距离：2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点B（-2，4，1）的距离相等.练习1.利用两点间距离公式求下列两点间距离.（1）A（3，4，0）B（0，4，3）（2）C（3，0，0）D（0，-1，0）7.1.2向量的概念定义7.1既有大小又有方向的量称为向量(或矢量);向量的大小称为向量的模.代数法表达方式几何法用始点为A终点为B的有向线段表示ABAB图示用带有箭头的小写字母表示或用黑体字母表示.,,,cba,,,，a(或)记作向量AB向量的模，a(或)AB(注：模长是标量)两个基本向量0模长为零的向量.模长为1的向量.(方向是任意的)零向量单位向量记作记作e(方向未做规定)向量的三种关系模长相等,方向相反的向量.相反向量记作a模长相等,方向相同的两个向量.相等向量记作ba向量可以在空间中任意平移.注与始点、终点位置无关；图示ab图示aa注aa方向相同或相反的非零向量.平行向量记作ba//平行向量又可称作共线向量.注零向量与任何向量都平行.图示ab7.1.3向量的线性运算向量的加法运算向量的减法运算向量的数乘运算向量的线性运算三角形法则运算法则平等四边行法则AB图示图示加法运算CDABACBCABACCCAACADAB三角形法则运算法则平等四边行法则AB图示图示减法运算CDABCBACABCDBADABCBDB数乘运算注数乘运算后的结果仍是一个向量.a记作一个向量与一个实数的乘积.a定理向量与向量平行(或共线)的充要条件是：ab存在不全为零的实数和,使得.0ba0aaa0a若有成立,则称向量为原向量同方向的a单位向量.例题，，，323213213133232eeceeebeeeacba32已知求：.32321321313323322eeeeeeee解：cba3233322211336139462eeeeeeee18e向量的坐标akajaiaazyxkji、、zyxaaaa，，在空间直角坐标系Oxyz中，取与Ox轴、Oy轴、Oz轴同向的单位向量.则称为向量的分解式；称为向量的坐标式.向量线性运算规律坐标式分解式(为常数)zyxaaaa，，kbajbaibabazzyyxxzzyyxxbabababa，，kajaiaazyx)()()((为常数)练习1.已知两点M1(0，1，2)和M2(1，-1，0),试用坐标式来表示向量与.21MM212MM5,1,4OAOBOA2.已知与,求向量与的坐标.0,8,1OBAB7.2向量的数量积与向量积掌握向量的数量积和向量积的定义，能够灵活运用运算规律，并熟训练使用判断向量平行或垂直的条件.7.2.1向量的数量积引例设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2,以S表示位移,则力F所做的功为,其中为F与S的夹角.21MMcosSFWM1M2FM1M2ScosF特别地，ab2)(ba，ba时,称与垂直；记作：ab或ba//0)(ba，时,称与平行或共线；记作：ab定义任意两个向量,的数量积(或内积)是一个ab)(cosbababa，数量,记作,即.ba，，注：0)(ba)(ba，定义两个非零向量与,它们的夹角称为向量与的夹角,记作.abab定义法坐标法数量积的运算方法zzyyxxzyxzyxbababababbbbaaaa，则：设，，，，，)(cosbababa，数量积的性质，则满足：及实数，，对于任意向量cba2aaa）（10bababa则两个非零向量，，）（2数量积的运算律abba交换律1baba结合律2cbcacba)(分配律3例题).()()()(3)(32babababababa与求设，，，，解：5)()(22babbaababa19332222)()(33cos32)(cos2222bbaabbbaaabababababa所以因为，向量夹角余弦公式222222)(coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababababababa，夹角的余弦公式为：，两个非零向量7.2.2向量的向量积sin,FOPFOQMMOOPFPFLO它的模为,的力矩是一向量点力F对支,的夹角为与杠杆上点作用于这的支点，力为一根杠杆设引例FPOLQ向量积构成右手系.,且都垂直,和方向规定为与其,，其大小为,记作向量,仍是一个的和,和给定两个向量bababababababababa,)(sin)(或外积向量积定义右手系规则图示ba，注：0ba的角到是ba向量积模的几何意义面积.为邻边的平等四边形的，以ba分解式法坐标法向量积的运算方法yxyxzxzxzyzyzyxzyxbbaabbaabbaababbbbaaaa，，，，，，，，则：设kbbaajbbaaibbaabbbaaakjibakbjbibbkajaiaayxyxzxzxzyzyzyxzyxzyxzyx则：设，，例题1426421264421222421222.21sin21kjiABCSkjikjiACABACABACABAACABABCSABC于是，所以由于的面积为知根据向量积的定义，可，，，，，的面积.求的顶点分别是已知ABCCBAABC，，，，，，，，，)742()543()321(解：向量积的性质，则满足：及实数，，对于任意向量cba0aa）（10//2bababa则两个向量，，）（向量积的运算律abba反交换律1baba结合律2cbcacba)(分配律3向量的混合积zyxzyxzyxzyxzyxzyxcccbbbaaacbaccccbbbbaaaa则它们的混合积为：,，设，，，，，，，想一想是什么样的四边形？那么如果四边形ABCDbaCDbaBCbaABABCD，，，中，3542bababbababa2,12121323221试求下列向量：已知向量，，，，，7.3平面与直线平面和直线是几何学中最基本的研究对象,是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型,同时它们也是几何分析中“以直代曲”的最基本元素.本章中要求掌握平面和直线的代数表达形式以及点、线、面间的位置关系.7.3.1平面的方程.的面为平向量是唯一确定的，此时称的平面垂直且与非零向量在空间中通过一定点法向量nnM0定义CBAn，，)(0000zyxM，，平面的法向量0000000zzCyyBxxAnMMnMMzyxM为：故.即,则有),(上任取一点在平面平面的点法式方程，，平面的点法式方程平面方程的表达式0，其中由点法式方程可得：2220000CBACzByAxDDCzByAx，平面的一般式方程解：求过两点M1(2，-1，1)和M2(3，-2，1),且平行于z轴的平面方程。0100100,,01122yxBAMCCBAznzCyBxA平面方程为：.则所求程得：在平面上，代入平面方又有.，得轴，故有其法向量，的平面方程为设过点M1，，例题解：求过点M(1，-1，2),且与平面2x-y+3z+7=0平行的平面的一般方程。.09320231123,1,20732zyxzyxnnzyx未知平面为：法向量.由点法式可得也是未知平面的一个.又知两平面平行，故向量的一