幂级数【高等数学PPT课件】

一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算第三节幂级数第十二章一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数为定义在区间I上的函数,称收敛,发散,所有0x称为其收0x称为其发散点,),2,1()(nxun发散点的全体称为其发散域.,)(xS为级数的和函数,并写成若用)(xSn令余项则在收敛域上有,)()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前n项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是x的函数称它例1求下列级数的收敛域:20(2)(0),nnnxxxn0(1)nnx二、幂级数及其运算1.幂级数概念形如nnxxaxxaxxaa)()()(020201000)(nnnxxa——称为)(0xx的幂级数.当,00xnnxaxaxaa22100nnnxa——称为x的幂级数.2.阿贝尔定理和收敛半径定理(阿贝尔定理)设幂级数0nnnxa(1)若在)0(0xx处收敛,则适合不等式0xx的一切,x该幂级数都收敛,且为绝对收敛;(2)若在)0(0xx处发散,则适合不等式0xx的一切,x该幂级数都发散.ox发散发散收敛收敛发散幂级数在(－∞,+∞)收敛;用±R表示幂级数收敛与发散的分界点,则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,0,R幂级数在(－R,R)收敛;在[－R,R]可能收敛也可能发散.Rx外发散;在(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，(－R,R)称为收敛区间.此时,收敛域是下列四区间之一:),,(RR],,[RR],,(RR),[RR3.收敛半径及收敛域的求法:设,0nnnxa且nnnaa1lim(或)limnnna则该幂级数的收敛半径为R0,10,,0例1求下列级数的收敛半径:113)1()1(nnnnnx1211)2(nnnxnn例2求下列级数的收敛半径和收敛域:nnnxn111)1()1(nnxn0!)2(12131)3(nnnxnnnnxn1)1(2)4(1(1)(5)2nnnxn三、幂级数的运算1.在共同收敛域内两幂级数可逐项相加,减,乘,除.2.在收敛域内幂级数的和函数是连续函数.4.在收敛区间内幂级数可逐项求导,且所得新的幂级数的收敛半径不变.0)(nnnxaxS0nnnxa11nnnnxaxnnnxdttadtts000)(00nxnndtta101nnnxna3.在收敛域内幂级数可逐项积分,且所得新的幂级数的收敛半径不变.例1x110nnx1,x当求导:即得,1x,11nnnx2)1(1x积分:dtttdtxnnx)(1000011)1ln(nnnxx)1,1[x即101)1()1ln(nnnxnx]1,1(x)()11(0nnxx将-x换为x有例2设0nnnxa的收敛半径为R,和函数为),(xS111nnnnxa的收敛半径为和函数为1)3(nnnxa的收敛半径为和函数为则11nnnnxa的收敛半径为和函数为四、幂级数求和公式x11,0nnx,1xx11,)1(0nnnx,1x例1求下列幂级数的和函数：nnxn0)1()1(111(2)nnxn11(1)(3)3nnnnxn011)1ln(nnnxx)1,1[x101)1()1ln(nnnxnx]1,1(x1.泰勒(Taylor)级数)()(0xfxf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.10)1()(!)1()(nnxxnf则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:五、函数展开成幂级数f(x)的泰勒公式:)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk余项10)1()()!1()()(nnnxxnfxR在x与0x之间.若,0)(limxRnn则定理1.各阶导数,条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn设函数f(x)在点x0的某一邻域则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要内具有nnnxxnxfxf)(!)()(000)()(0xUxnnnxnfxf0)(!)0()()0(Ux称为f(x)的泰勒级数.当x0=0时,nnnxxnxfxf)(!)()(000)(泰勒级数又称为麦克劳林级数.定理2.若f(x)能展成x的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.1.直接法——展开成x的幂级数2.函数展开成幂级数例1将x的幂级数.展开成xexf)(解,)()(xnexf),2,1,0(.1)0()(nfnnnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(2nxnxx!1!2112收敛半径R2.间接展开法利用已知函数幂级数展开公式:011)1(nnxx11x01(1)1nnnxx11x10(2)ln(1)1nnxxn11x10ln(1)(1)1nnnxxn11x01(3)!xnnexn),(x),(x012)!12()1(sinnnnnxx(4)),(x02)!2()1(cosnnnnxx(5)例2将下列函数展开成x的幂级数:xxf31)()1(651)()2(2xxxf问题:展开成4x的幂级数.例3将x的幂级数.展开成)2ln()(xxf例4将x的幂级数.展开成xxf2)()2lg()(xxf问题:如何展开？例5将2x的幂级数.展开成xxf2)(