2019年第三节、幂级数.ppt

幂级数一、幂级数的定义二、幂级数的收敛性三、幂级数的运算设是定义在RI上的函数列,则)()()()(211xuxuxuxunnn称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.)(xun,xxxnn201例如级数一、函数项级数的一般概念1.定义:2.收敛点与收敛域:如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn的收敛点,否则称为发散点.所有发散点的全体称为发散域.函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域,(可以适当地运用常数项级数的敛散性判别法,判别函数项级数的敛散性。特别注意比较判别法的应用).,,)(sin12的敛散性判别Rxnnxn并求其收敛域.)(1sin22Rxnnnx,2112级数的是又PPnn,,它收敛时当Rx,)(sin12收敛故Rxnnxn即原级数在整个实数域上是绝对收敛的.所求收敛域为),(解例1余项)()()(xsxsxrnn(x在收敛域上)0)(limxrnn函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:设在收敛域上,若称)(xs为函数项级数的和函数.)()()()(21xuxuxuxsnn)()(limxsxsnn)()()()(21xuxuxuxsnnnnnnxaxaxaaxa22100形如的级数称为幂级数,其中,),,,n(na210常数称为幂级数的系数..）,（幂级数的定义域为1.幂级数的定义二.幂级数及其敛散性幂级数的一般形式为00)(nnnxxa)()(0010nnxxaxxaa为一定点.x其中,0准形式则可将它化为前面的标,xxX令0000)(nnnnnnXaxxa当幂级数收敛时,由0))()((limxSxSnn可知,不论“和函数”多么复杂,我们可以用多项式来近似它.当n的值充分大时,这种代替可达到相当的精度.nkkknxaxS0)(,10nnxaxaa的部分和.xa称为1nnn120nnnxxxx判别的敛散性,并求其收敛域.这是等比级数..,x11S(x)其和为,级数收敛时1|x|当.级数发散,时1|x|当故该级数的收敛域为:.)1,1(x要打开思路!解例2,120nnnxxxx幂级数);1,1(收敛域为);,1[]1,(发散域为-101x注:收敛域关于原点对称,且与发散域截然分开。问题:一般的幂级数nn1nxa是否也具有上述现象？,0）处收敛（xxx在xa若幂级数000nnn.幂级数绝对收敛值,x的|x||x|则对任何满足0则对处发散,xx在xa若幂级数00nnn.幂级数均发散值,x的|x||x|任何满足02.收敛性:定理1(Abel定理)),2,1,0(0nMxann使得,Mnnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0,10时当xx,00收敛等比级数nnxxM,0收敛nnnxa;0收敛绝对即级数nnnxa证明收敛,00)1(nnnxa,0lim0nnnxa时发散,x假设当x(2)0而有一点1x适合01xx使级数收敛,则级数当0xx时应收敛,这与所设矛盾.由(1)结论xoRR几何说明收敛区域发散区域发散区域由以上的分析发现：内),(在xa如果幂级数0nnn既有收敛点,又有发散点,则从坐标原点开始沿数轴往右(左)走,最初只可能遇到它的收敛点,然后就会只遇到它的发散点,这两部分的分界)(PP点是关于坐标原点对称的,幂级数在分界点处可能收敛,也可能发散.现将以上的分析用图表示出来.（）PPxO收发RR幂级数在一个以坐标原点为中心的对称区间),(RR内收敛,在此区间外发散,在区间端点处幂级数可能收敛,也可能发散.为幂级数的收敛区间,R）R,（此时称.称为幂级数的收敛半径R如果幂级数0nnnxa不是仅在0x一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx与时,幂级数可能收敛也可能发散.推论定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,0R),,[RR],,(RR].,[RR规定,R收敛区间0x;收敛区间),(.问题如何求幂级数的收敛半径?),,(RR(1)幂级数只在0x处收敛,(2)幂级数对一切x都收敛,.,00,0,1)lim(lim011，，则这幂级数的收敛半径的相邻两项的系数，是幂级数、其中或如果Rxaaaaaannnnnnnnnnn定理2证,0应用达朗贝尔判别法对级数nnnxannnnnxaxa11limxaannn1lim,x,)0(lim)1(1存在如果nnnaa由比值审敛法,,1||时当x,||0收敛级数nnnxa.0绝对收敛从而级数nnnxa,1||时当x,||0发散级数nnnxa开始并且从某个n|,|||11nnnnxaxa0||nnxa.0发散从而级数nnnxa;1R收敛半径,0)2(如果,0x任意),(011nxaxannnn有,||0收敛级数nnnxa.0绝对收敛从而级数nnnxa;R收敛半径,)3(如果,0x任意.0必发散级数nnnxa)||01(0收敛使知将有点否则由定理nnnxax.0R收敛半径证毕.)1(32132的收敛半径与收敛域求幂级数nxxxxnn例1解nnnaa1lim因为1Rnnn111lim.1.1所以收敛半径为，对于端点1x，对于端点1x].1,1(因此，收敛域是nn1)1(312111级数收敛．,131211n级数发散．级数成为级数成为交错级数.!1!2112的收敛域求幂级数nxnxx例2解11limnn,R所以收敛半径nnnaa1lim因为!1)!1(1limnnn).,(从而收敛域是,0).1!0(!0规定的收敛半径求幂级数nnxn例3解nnnaa1lim因为,0R所以收敛半径,!)!1(limnnn.0处收敛即级数仅在x.)!()!2(022的收敛半径求幂级数nnxnn例4解级数缺少奇次幂的项,不能直接应用定理方法.根据比值审敛法来求收敛半径:nnnxnnxnn22)1(22)!()!2(])!1[()]!1(2[lim.42x)()(lim1xuxunnn.21R所以收敛半径,21142时即当xx时，即当21142xx级数收敛；.级数发散解，级数为因为3523222xxx缺少偶次幂的项，应用达朗贝尔判别法)()(lim1xuxunnnnnnnnxx22lim12112,212x级数收敛,,1212x当,2时即x.2112的收敛区间求幂级数nnnx例5,1212x当,2时即x级数发散,,2时当x,211n级数为,2时当x,211n级数为级数发散,级数发散,).2,2(为所以原级数的收敛区间.2)1(1的收敛域求幂级数nnnnx例6解,1xt令nnnaa1lim因为.31,2xt即收敛区间为)1(22lim1nnnnn.2R所以收敛半径.21nnnnt上述级数变为.21时，当1x).31[，因此原级数的收敛域为时，当3x,11nn级数成为这级数发散；,11nnn）（级数成为.这级数收敛幂级数的运算幂级数的四则运算幂级数的解析运算三.幂级数的运算三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法00nnnnnnxbxa).()(0xgxfxcnnn)(nnnbac其中RRx,.,min,)(,)(212100RRRRRxgxbxfxannnnnn设和其收敛半径各为设(2)乘法)()(00nnnnnnxbxa).()(0xgxfxcnnnRRx,)(0110bababacnnnn其中00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯西乘积321xxx(3)除法00nnnnnnxbxa0nnnxc)0(0nnnxb收敛域内相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多.2.和函数的分析运算性质:性质1.)()(xgxf幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内连续；又若级数在收敛区间端点收敛,则在端点单侧连续.xnnnxxxaxxs000d)(d)(00dnxnnxxa)(.110Ixxnannn公式上可积，并有逐项积分在其收敛域的和函数幂级数Ixsxannn)(0性质2逐项积分后所得到幂级数和原级数有相同的收敛半径.0)()(nnnxaxs0)(nnnxa)(.11Rxxnannn公式内可导，且有逐项求导在其收敛区间的和函数幂级数),()(0RRxsxannn性质3逐项求导后所得到幂级数和原级数有相同的收敛半径.就是说,在两个幂级数的公共收敛区间上可以像多项式那样进行加、减、乘的运算.解,)1()(11nnnnxxs因为,0)0(s显然两边积分得),1ln(d)(0xttsx21)(xxxs,11x)11(x的和函数，并求求级数11)1(nnnnx例7.21)1(11的和nnnn,1时又x.1)1(11收敛nnn).1ln()1(11xnxnnn所以)11(x),1ln()(xxs所以),1ln()0()(xsxs即.23ln)21(21)1(11snnnn故.11的和函数求幂级数nnnx例8解先求收敛域nnnaa1lim由.1R得收敛半径处，在端点1x是收敛的交错级数；21limnnn,1,1)1(0nnn幂级数成为处，在端点1x,110nn幂级数成为.是发散的).1,1[I因此收敛域为即设和函数为),(xs).1,1[,1)(0xnxxsnn.1)(01nnnxxxs于是利用性质3，逐项求导，并由得)11(,1112xxxxxn01)1(])([nnnxxxs).1(110xxxnn积分，得到对上式从x0xxxxxs0d11)().11()1ln(xx时，有于是，当0x).1ln(1)(xxxs得出，可由而1)0()0(0ass得到也可由和函数的连续性.0,1),1,0()0,1[),1ln(1)(xxxxxs故)]1ln(1[lim0xxx)(lim)0(0xssx.1解,)1(1nnxnn考虑级数1)1()(nnxnnxs则)(11nnxx)1(2xxx,)1(23xx