等差数列前n项和ppt课件-数学高一必修5第二章数列2.3人教A版

第二章数列2.3等差数列的前n项和1.了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，sn之间的关系.2.掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用.(重点）3.能熟练应用公式解决实际问题，并能体会方程思想.（难点）学习目标高斯，让我们一起认识一下：C.F.Gauss是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家.他有数学王子的美誉，被誉为历史上最伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名.下面让我们一起学习一下著名的“高斯算法”.1.等差数列的概念是什么？2.等差数列的通项公式是怎样的？3.两数x，y的等差中项是如何定义的？答：1.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式为na1(1)naand3.如果三个数x，A，y成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项.2xyA思考1请同学们思考一下如何快速地求出1+2+3+4+5+…+99+100=？解：1就是首项，100就是末项，一共有100项，1+2+3+…+100=(1+100)×100/2=101×100/2=10100/2=5050探究：等差数列前n项和思考2如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各层的钢管数组成等差数列4,5,6,7,8,9,10,11，求钢管的总数.共8层每层15根解：S8=11+10+9+8+7+6+5+4所以2S8=(4+11)+(5+10)+(6+9)+(7+8)+(8+7)+(9+6)+(10+5)+(11+4)所以S8=8(411)602S8=4+5+6+7+8+9+10+11思考3通过以上两例的讨论，根据等差数列{an}的首项a1，项数n，第n项an，试推导前n项和Sn的计算公式.解：1111()(2)[(1)]nSaadadand()(2)[(1)]nnnnnSaadadand1112)))nnnnnSaaaaaa个（（（1)nnaa（n123n1nSaaaaa1)2nnnaaS（11)2nnnSnad（即这就是说，等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.由于an=a1+(n-1)d,则解：因为129192,a解得19,a2020(929)2002S所以例1等差数列的公差为2，第20项，求前20项的和.2029a20Sna思考.在求等差数列前n项和时如何选用公式？提示：在求等差数列前n项和时，若已知a1,an和项数n，则使用公式若已知首项a1,公差d及项数n，可利用公式1nnnaaS.2n1nn1Snad.2例2.(2014·济南高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a8+a11=30,则S13的值是()A.130B.65C.70D.75【方法技巧】等差数列前n项和公式的运算方法与技巧类型“知三求二型”基本量a1,d,n,an,Sn方法运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组),通过解方程(组)求出未知量思想方程的思想、整体代入思想注意①利用等差数列的性质简化计算②注意已知与未知条件的联系③有时运用整体代换的思想【变式训练】(2014·连云港高二检测)若Sn是等差数列{an}的前n项和,且S8-S3=20,则S11的值为.【解析】由S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=20,解得a6=4,又S11=答案：441116611aa112a11a44.22例3.李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年：（1）已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？（“教育储蓄”不需缴利息税）（2）已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？（“零存整取”需缴20％的利息税）解：（1）100元“教育储蓄”存款的月利息是第1个100元存36个月，得利息……第36个100元存1个月，得利息因此，到期时李先生获得利息本息和为答：李先生一次可支取本息共3779.82元.10=0.20×2..77（元）‰；0.27×36（元）0.27×1（元）. ……0.27×(36+35++1）=179.82（元）.3600+179.82=3779.82（元）.(2)100元“零存整取”的月利息是存三年的利息是故李先生多收益答：李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益87.912元.100×1.725=0.1725().‰元……0.1725×(36+35++1）=114.885（元）.%179.82-114.885×(1-20)=87.912（元）.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为.na变式练习：11201,120,120,aan因为120120(1120)7260.2S所以答：V形架上共放着7260支铅笔.例4.已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.【思路探究】(1)已知Sn如何求通项公式an?(2)用an＝Sn－Sn－1时应注意什么问题？【自主解答】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5.此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故an＝4n－5.(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2，则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1.此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，故an＝1，n＝1，2·3n－1，n≥2.若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an存在如下关系：an＝S1，Sn－Sn－1，n＝1，n≥2.一定要注意分n＝1和n≥2两种情况讨论，当n＝1时，也适合an＝Sn－Sn－1，最后的结论可以合二为一，若不适合，必须写成分段函数an＝S1，Sn－Sn－1，n＝1n≥2的形式．已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2.(1)求{an}的通项公式；(2)判断{an}是否为等差数列？【解】(1)∵Sn＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3.又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3，∴数列{an}的通项公式是an＝1，n＝1，－4n＋3，n≥2.(2)由(1)知，当n≥2时，an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4，但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4，∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．例5.数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.(1)从第几项开始有an0；(2)求此数列的前n项和的最大值．【思路探究】(1)怎样求an？an0的含义是什么？不等式的解集的含义是什么？(2)能否用二次函数的方法处理前n项和的最值问题？由an的变化可以推测吗？【自主解答】(1)∵a1＝50，d＝－0.6，∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6.令－0.6n＋50.6≤0，则n≥50.60.6≈84.3.由于n∈N*，故当n≥85时，an0，即从第85项起以后各项均小于0.(2)法一Sn＝50n＋nn－12×(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n＝－0.3n－50362＋5032120.当n取接近于5036的正整数，即n＝84时，Sn达到最大值S84＝2108.4.法二∵d＝－0.60，a1＝500，由(1)知a840，a850，∴S1S2…S84，且S84S85S86….∴(Sn)max＝S84＝50×84＋84×832×(－0.6)＝2108.4.等差数列前n项和的最值问题(1)利用an：当a1＞0，d＜0时，前n项和有最大值，可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；当a1＜0，d＞0时，前n项和有最小值，可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值．(2)利用Sn：二次函数Sn＝d2n2＋a1－d2n由配方法求得Sn取最值时n的值．例6.等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求1S1＋1S2＋…＋1Sn.【思路探究】(1)由a1，d能否求出Sn？1Sn为多少？(2)1Sn能否为裂项成为正负相消的项？【自主解答】∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，∴前n项和Sn＝na1＋nn－12d＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n(n∈N*)，∴1Sn＝1n2＋2n＝1nn＋2＝121n－1n＋2，∴1S1＋1S2＋…＋1Sn＝121－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝121＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32n＋1n＋2.1．若数列{an}是等差数列，公差为d(d≠0)，则和式Tn＝1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋…＋1an－1an可用裂项法求和，具体过程如下：∵1an－1·an＝1d1an－1－1an，∴Tn＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1－1an＝1d1a1－1an＝n－1a1an.2．常用到的裂项公式有如下形式：(1)1nn＋k＝1k1n－1n＋k；(2)1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)．1．在等差数列｛an｝中，d＝1，S98＝137，则a2＋a4＋a6＋…＋a98等于()A.91B.92C.93D.942.等差数列{an}的前n项和为Sn，S30=12S10，S10+S30=130，则S20=()A.40B.50C.60D.70CBC4.求集合的元素个数，并求这些元素的和.+|7,N,100Mmmnnm且解：因7n100,为.1002所以n=1477所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出，得7，14，21，28，…，98这个数列是等差数列，记为na114因a=7,a=98,n=14,为1414×(7+98)所以S==735.2因此集合M共有14个元素，它们的和等于735.1.等差数列前n项和公式的推导过程（倒序相加）；2.等差数列前n项和公式的两种形式：1nn(aa)21n(n1)nad23.若数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an存在如下关系：an＝S1，Sn－Sn－1，n＝1，n≥2.4.等差数列前n项和的最值问题5.裂项相消法求数列的和