2017年高考数学考前回扣教材3 三角函数、平面向量

回扣3三角函数、平面向量1.准确记忆六组诱导公式对于“kπ2±α，k∈Z”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0).3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.(4)asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝ba).4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.5.三种三角函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)6.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，A0)的图象(1)“五点法”作图：设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.(3)图象变换：y＝sinx――――――――――→向左φ0或向右φ0平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)――――――――――――→横坐标变为原来的1ωω0倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的AA0倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ).7.正弦定理及其变形asinA＝bsinB＝csinC＝2R(2R为△ABC外接圆的直径).变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.8.余弦定理及其推论、变形a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，a2＋c2－b2＝2accosB，a2＋b2－c2＝2abcosC.9.面积公式S△ABC＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.10.解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.(4)已知三边，利用余弦定理求解.11.平面向量的数量积(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.12.两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.13.利用数量积求长度(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.14.利用数量积求夹角若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.15.三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a2sinA.(2)O为△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→.(4)O为△ABC的内心⇔aOA→＋bOB→＋cOC→＝0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω0时，需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中，注意由y＝sinωx的图象变换得y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为φω，而不是φ.5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.7.a·b0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；a·b0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin45°cos15°－sin30°的值等于()A.12B.22C.32D.1答案C解析2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝32.故选C.2.要得到函数y＝sin2x的图象，可由函数y＝cos(2x－π3)()A.向左平移π6个单位长度得到B.向右平移π6个单位长度得到C.向左平移π12个单位长度得到D.向右平移π12个单位长度得到答案D解析由于函数y＝sin2x＝cos(π2－2x)＝cos(2x－π2)＝cos[2(x－π12)－π3]，所以可由函数y＝cos(2x－π3)向右平移π12个单位长度得到函数y＝sin2x的图象，故选D.3.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A.3B.932C.332D.33答案C解析c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6，①∵C＝π3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332，故选C.4.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是()A.3B.1＋2C.2D.2(tan18°＋tan27°)答案C解析由题意得，tan(18°＋27°)＝tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°，即tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°＝1，所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2，故选C.5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B解析∵bcosC＋ccosB＝asinA，∴sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝1，∴A＝π2，三角形为直角三角形.6.已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA，1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是()A.锐角B.钝角C.直角D.不确定答案A解析∵A、B、C是锐角△ABC的三个内角，∴A＋Bπ2，即Aπ2－B0，∴sinAsin(π2－B)＝cosB，∴p·q＝sinA－cosB0.再根据p，q的坐标可得p，q不共线，故p与q的夹角为锐角.7.f(x)＝12sin(2x－π3)＋32cos(2x－π3)是()A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数答案C解析f(x)＝12sin(2x－π3)＋32cos(2x－π3)＝sin(2x－π3＋π3)＝sin2x，是最小正周期为π的奇函数，故选C.8.已知a，b为同一平面内的两个向量，且a＝(1，2)，|b|＝12|a|，若a＋2b与2a－b垂直，则a与b的夹角为()A.0B.π4C.2π3D.π答案D解析|b|＝12|a|＝52，而(a＋2b)·(2a－b)＝0⇒2a2－2b2＋3b·a＝0⇒b·a＝－52，从而cos〈b，a〉＝b·a|b|·|a|＝－1，〈b，a〉＝π，故选D.9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c有下列命题：①若ABC，则sinAsinBsinC；②若cosAa＝cosBb＝cosCc，则△ABC为等边三角形；③若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；④若(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，则△ABC为钝角三角形；⑤存在A，B，C使得tanAtanBtanCtanA＋tanB＋tanC成立.其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号).答案①②④解析若ABC，则abc⇒sinAsinBsinC；若cosAa＝cosBb＝cosCc，则cosAsinA＝cosBsinB⇒sin(A－B)＝0⇒A＝B⇒a＝b，同理可得a＝c，所以△ABC为等边三角形；若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，因此△ABC为等腰或直角三角形；若(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，则tanA＋tanB＝1－tanAtanB，因此tan(A＋B)＝1⇒C＝3π4，△ABC为钝角三角形；在△ABC中，tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC恒成立，因此正确的命题为①②④.10.若△ABC的三边a，b，c及面积S满足S＝a2－(b－c)2，则sinA＝________.答案817解析由余弦定理得S＝a2－(b－c)2＝2bc－2bccosA＝12bcsinA，所以sinA＋4cosA＝4，由sin2A＋cos2A＝1，解得sin2A＋(1－sinA4)2＝1，sinA＝817(0舍去).11.若tanθ＝3，则cos2θ＋sinθcosθ＝________.答案25解析∵tanθ＝3，∴cos2θ＋sinθcosθ＝cos2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝1＋tanθtan2θ＋1＝1＋332＋1＝25.12.已知单位向量a，b，c，且a⊥b，若c＝ta＋(1－t)b，则实数t的值为________.答案1或0解析c＝ta＋(1－t)b⇒c2＝t2＋(1－t)2＝|c|2＝1⇒t＝0或t＝1.13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA＝(2c＋a)cos(A＋C).(1)求角B的大小；(2)求函数f(x)＝2sin2x＋sin(2x－B)(x∈R)的最大值.解(1)由已知，bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)，即sinBcosA＝－(2sinC＋sinA)cosB，即sin(A＋B)＝－2sinCcosB，则sinC＝－2sinCcosB，∴cosB＝－12，即B＝2π3.(2)f(x)＝2sin2x＋sin2xcos2π3－cos2xsin2π3＝32sin2x－32cos2x＝3sin(2x－π6)，即x＝π3＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值3.14.已知函数f(x)＝2cosx(sinx－cosx)＋1.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且锐角A满足f(A)＝1，b＝2，c＝3，求a的值.解(1)f(x)＝2sinxcosx－2cos2x＋1＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－π4)，所以f(x)的最小正周