2017年高考数学考前回扣教材5 不等式与线性规划

回扣5不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ0、Δ＝0、Δ0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小.2.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a0，Δ0.(2)ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立的条件是a0，Δ0.3.分式不等式fxgx0(0)⇔f(x)g(x)0(0)；fxgx≥0(≤0)⇔fxgx≥0≤0，gx≠0.4.基本不等式(1)①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)当且仅当a＝b时取等号.②a＋b2≥ab(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号.(2)几个重要的不等式：①ab≤a＋b22(a，b∈R)；②a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b(a0，b0，当a＝b时等号成立).③a＋1a≥2(a0，当a＝1时等号成立)；④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立).5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域.6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a0，a0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把fxgx≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x2＋2＋1x2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋3x(x0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2x＋2是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是()①ab，cd⇔a＋cb＋d；②ab，cd⇒adbc；③a2b2⇔|a||b|；④ab⇔1a1b.A.4B.3C.2D.1答案C解析①ab，cd⇔a＋cb＋d正确，不等式的同向可加性；②ab，cd⇒adbc错误，反例：若a＝3，b＝2，c＝1，d＝－1，则adbc不成立；③a2b2⇔|a||b|正确；④ab⇔1a1b错误，反例：若a＝2，b＝－2，则1a1b不成立.故选C.2.设M＝2a(a－2)＋4，N＝(a－1)(a－3)，则M，N的大小关系为()A.MNB.MNC.M＝ND.不能确定答案A解析M－N＝2a(a－2)＋4－(a－1)(a－3)＝a2＋10.故选A.3.若不等式2kx2＋kx－38≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是()A.(－3，0)B.(－∞，－3)C.(－3，0]D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)答案C解析由题意可知2kx2＋kx－380恒成立，当k＝0时成立，当k≠0时需满足k0，Δ0，代入求得－3k0，所以实数k的取值范围是(－3，0].4.(2016·四川)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足y≥x－1，y≥1－x，y≤1，则p是q的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析如图，(x－1)2＋(y－1)2≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；y≥x－1，y≥1－x，y≤1，②表示△ABC内部区域的所有点(包括边界).实数x，y满足②则必然满足①，反之不成立.则p是q的必要不充分条件.故选A.5.不等式1x－1≥－1的解集为()A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)答案C解析由题意得，1x－1≥－1⇒1x－1＋1＝xx－1≥0，解得x≤0或x1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.6.设第一象限内的点(x，y)满足约束条件2x－y－6≤0，x－y＋2≥0，目标函数z＝ax＋by(a0，b0)的最大值为40，则5a＋1b的最小值为()A.256B.94C.1D.4答案B解析不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z＝ax＋by过点(8，10)时取最大值，即8a＋10b＝40，4a＋5b＝20，从而5a＋1b＝(5a＋1b)4a＋5b20＝120(25＋4ab＋25ba)≥120(25＋24ab×25ba)＝94，当且仅当2a＝5b时取等号，因此5a＋1b的最小值为94，故选B.7.已知实数x、y满足y≥1，y≤2x－1，x＋y≤m，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于()A.6B.5C.4D.3答案B解析作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z＝x－y的最小值为－1，得y＝x－z，及当z＝－1时，函数y＝x＋1，此时对应的平面区域在直线y＝x＋1的下方，由y＝x＋1y＝2x－1⇒x＝2，y＝3，即A(2，3)，同时A也在直线x＋y＝m上，所以m＝5.8.在平面直角坐标系中，若不等式组y≥0，y≤x，y≤kx－1－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是()A.(－∞，－1)B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案A解析易知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y＝k(x－1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1).9.已知实数x∈[－1，1]，y∈[0，2]，则点P(x，y)落在区域2x－y＋2≥0，x－2y＋1≤0，x＋y－2≤0内的概率为()A.34B.14C.18D.38答案D解析不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38，故选D.10.函数y＝loga(x＋3)－1(a0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2n的最小值为________.答案8解析由已知可得定点A(－2，－1)，代入直线方程可得2m＋n＝1，从而1m＋2n＝(1m＋2n)(2m＋n)＝nm＋4mn＋4≥2nm·4mn＋4＝8.当且仅当n＝2m时取等号.11.已知ab＝14，a，b∈(0，1)，则11－a＋21－b的最小值为________.答案4＋423解析因为ab＝14，所以b＝14a，则11－a＋21－b＝11－a＋21－14a＝11－a＋8a4a－1＝11－a＋24a－1＋24a－1＝11－a＋24a－1＋2＝2(14a－1＋24－4a)＋2＝23(14a－1＋24－4a)[(4a－1)＋(4－4a)]＋2＝23[3＋4－4a4a－1＋24a－14－4a]＋2≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a4a－1＝24a－14－4a，即a＝32－24时，取等号).12.变量x，y满足约束条件x＋y≥0，x－2y＋2≥0，mx－y≤0，若z＝2x－y的最大值为2，则实数m＝______.答案1解析由可行域知，直线2x－y＝2必过直线x－2y＋2＝0与mx－y＝0的交点，即直线mx－y＝0必过直线x－2y＋2＝0与2x－y＝2的交点(2，2)，所以m＝1.13.(2016·上海)若x，y满足x≥0，y≥0，y≥x＋1，则x－2y的最大值为________.答案－2解析令z＝x－2y，则y＝12x－z2.当在y轴上截距最小时，z最大.即过点(0，1)时，z取最大值，z＝0－2×1＝－2.14.已知实数x，y满足x－y＋5≥0，x≤3，x＋y≥0，则y－6x－5的取值范围是________.答案[－1，92]解析作出可行域，如图△ABC内部(含边界)，y－6x－5表示可行域内点(x，y)与P(5，6)连线斜率，kPA＝8－63－5＝－1，kPC＝－3－63－5＝92，所以－1≤y－6x－5≤92.