如何提高运算能力高中数学

如何提高运算能力高中数学在高考数学考试大纲中对运算能力的描述如下：运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。运算能力是思维能力和运算技能的结合．运算包括对数值的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．一.运算能力：包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能．对运算能力的考查：主要是对算理和逻辑推理的考查，考查时以代数运算为主，同时也考查估算、简算．二.运算包括1.数字的计算、估值和近似计算，2.式子的组合变形与分解变形，3.几何图形各几何量的计算求解三.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序，调整运算的能力以及实施运算和计算的技能．四、影响运算能力的心理因素（１）固定的思维方法（２）缺乏比较意识五、运算能力的四个要素：准确程度合理程度简捷程度快慢程度.六、运算能力及其特点（１）运算能力的层次性①计算的准确性——基本要求;②计算的合理、简捷、迅速——较高要求;③计算的技巧性、灵活性——高标准要求。（２）运算能力的综合性函数奇偶性的判断：通常教师都采取定义的方法，即作如下变形：)()()(xfxfxf或，这个“…”的过程对有些题目技巧过高，对理解函数奇偶性的一般性质也不利。例1：判断函数f(x)＝lgxx11的奇偶性，如下方法对于部分学生的运算要求过高法一：)(11lg11lg11lg)(1)(1lg)(1xfxxxxxxxxxf题目的难点在于对分式的变形，即从111lg11lgxxxx的变形至少不自然，实际上它更多的是记忆的范畴，增加了学生记忆的负担法二：01lg1111lg11lg11lg)()(xxxxxxxxxfxf其优点是非常自然地使用了对数运算性质进行运算，即设计合理、简捷的运算途径。同理判断函数f(x)＝)1lg(2xx的奇偶性也一样,法一：)()1lg(11lg)1lg()(222xfxxxxxxxf题目的难点是我们称为“分子有理化”的变形，这对于习惯了“分母有理化”的学生从记忆潜意识上是不接受的，当然你的目的是为了训练“分子有理化”的变形又另当别论.例2：需要通过关于x的方程02048)45(222mkmxxk的判别式整理出k,m满足的不等式，0)204)(45(4)8222mkkm（,如果学生不懂算理，会按部就班的进行化简整理，殊不知常数16是可以先约去的，进而准确得出结论.例3.点斜式求直线方程：)(00xxkyy大家可以做实验进行对比：已知直线的斜率32k，且过点)34,21(求直线的方程.方法一：)213234xy（,化简整理为0332yx,这个过程中会有粗心马虎的学生因为分数和符号的问题出现结果的不正确方法二：因为斜率32k，所以直线方程可设为032cyx,易得3c，在这个运算过程中，就是粗心马虎的学生也不容易出错.1）解析几何中关于弦的中点问题也是常见问题之一，要坚持用“遇到中点，不妨相减”方法来处理这类题目，因为它的计算比联立、消元、再利用韦达定理简化的太多，而且要让学生熟记它的最后形式，即00202ykaxb和pky0,它可以理顺出解题的思路.例4（全国Ⅱ卷文15）已知F是抛物线24Cyx：的焦点，AB，是C上的两个点，线段AB的中点为(22)M，，则ABF△的面积等于．设过M的直线方程为)2(2xky，由0)1(4)444(4)2(222222kxkkxkxyxky∴2221444kkkxx14k，于是直线方程为xy,A（0，0）、B（4，4）∴24AB，焦点F（1，0）到直线xy的距离21d∴ABF△的面积是2正确方法：2221214,4xyxy)(4212221xxyy4)21kyy（1k,,2）圆锥曲线方程的设法：凡是求曲线方程时，如果已知条件与a、b、c、p无关，可设方程为122nymx或axy2，这样可简化韦达定理和判别式的形式，无论后续是使用弦长公式还是向量都会简化运算3）焦点弦长：一般弦长公式和焦点弦长公式在运算量上的差异是很大的，一定让学生正确选择4）解关于a、b、c的方程5）22)(1abe6）双曲线的方程与渐近线方程的关系7）到角与夹角公式例5.（全国Ⅱ卷理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20xy与740xy，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3B．2C．13D．12解析1,02:11kyxl，71,047:22kyxl，设底边为kxyl:3由题意，3l到1l所成的角等于2l到3l所成的角于是有371711112211kkkkkkkkkkk再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A本题是由教材的一个例题改编而成。（人教版P49例7）例6.设椭圆过点，且左焦点为（1）求椭圆的方程；(08安徽理22)2222xyaabC:=1(b0)(2,1)M1(2,0)Fcababcab22222222解得：=221+=1=4,=2=-若利用椭圆的定义，相对运算量较小。例7.（2006江苏17）三点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0），求以21FF、为焦点且过点P的椭圆的标准方程.解：由题意：2222221425,36cabbac，,解得,94522ba，所求椭圆的标准方程为19y45x22我们看看是怎样解得的：13642522aa，)36(4)36(252222aaaa9003625.......036256524aa,(204522舍）或aa122222PFPF2a=1121265∴222a35,bac45369（二）代数式的变形1.二次三项式：配方因式分解（十字相乘、求根（根的符号）2.分式：通分（等式的通分、不等式的通分即放缩，交叉相乘（方程）、分子不含未知量（函数）3.三角函数式：化简（角关系，函数名称关系，式子结构特点）4.根式：有理化、平方5.绝对值：讨论、平方6.指数与对数式：运算性质7.繁分式：同乘公倍数8.高次多项式：因式分解（验根）9.排列组合式10.作差后的变形，与0比大小3、三角公式1）辅助角公式，)sin(cossin22baba,主要是的选择和符号2）22cos1sin2、22cos1cos2，主要是符号3）弦的齐次式，化为正切，222222tan11cossincos1coscos4)三角函数中的根式0BB0BBBBA2，，5)cossin、cottan，例如、对含有参数的二次三项式的因式分解，先验证判别式是否为完全平方式，如果是在用十字相乘法进行因式分解，例8.aaxax22)23(2分解后)1)(2axax（，两根分别为a1,2a,难度是分解，易错是符号（三）以行助数1.结果的形式：①解、解集、单调区间、范围②区间端点③反函数的后缀④轨迹、轨迹方程及条件⑤立几、解几、三角中角的范围⑥分布列、极值、单调列表⑦排列、组合的结果⑧根式的分母⑨分数的既约⑩分布列的表格⑾求导后的列表：一目了然2.函数图象的应用：熟知函数图像，“胸有成图”，是数形结合的基础1）常见函数图像：一次、反比例、二次、指数、对数、三角2）补充：bxaxxf)(、)(xfdcxbax、xxxf1)(、三次函数、根式函数（圆、椭圆、双曲线、抛物线）例9.（山东卷理4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为(A)3(B)2(C)1(D)-1解：1x、xa在数轴上表示点x到点1、a的距离，他们的和()1fxxxa关于1x对称，因此点1、a关于1x对称，所以3a3.几何意义：代数式的几何意义ax+by+c（线性规划）、22)()(byax（距离）、byax（斜率）例10.（辽宁卷文16）设02x，，则函数22sin1sin2xyx的最小值为法一：22sin12cos2,sin2sin2xxykxx取(0,2),A22(sin2,cos2)1Bxxxy的左半圆,作图(略)易知mintan603.k答案：3法二：22sin1sin2xyxxxxxxxtan21tan3cossin2cossin3222解析和立体几何中平面几何的应用解析几何：通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来，使形和数结合，是研究几何图形的一种重要的数学方法.通俗一点是用计算的方法研究平面几何，所以先利用上平面几何的性质就会简化计算.例11.（安徽卷文22）设椭圆2222:1(0)xyCabab其相应于焦点(2,0)F的准线方程为4x.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点1(2,0)F倾斜角为的直线交椭圆C于,AB两点，求证：2422ABCOS;解：当2时，记tank，则:(2)ABykx将其代入方程2228xy得2222(12)88(1)0kxkxk设1122(,),(,)AxyBxy，则12,xx是此二次方程的两个根.2212122288(1),.1212kkxxxxkk∴2122124)(1(xxxxkAB22222222832(1)42(1)(1)[()]121212kkkkkkk.....(1)22tan,k∵代入（1）式得2422cosAB.........(2)当2时，22AB仍满足（2）式2422cosAB∴第三问简单的解法应该是axxeAB2)(21242182122kk2221)1(24kk例12.（四川卷文11）已知双曲线22:1916xyC的左右焦点分别为12,FF，P为C的右支上一点，且212PFFF，则12PFF的面积等于()（Ａ）24（Ｂ）36（Ｃ）48（Ｄ）96解1：∵双曲线22:1916xyC中3,4,5abc∴125,0,5,0FF∵212PFFF∴12261016PFaPF作1PF边上的高2AF，则18AF∴2221086AF∴12PFF的面积为12111664822PFPF故选C解法2：∵双曲线22:1916xyC中3,4,5abc∴125,0,5,0FF设000,0Pxyx，，则由212PFFF得22200510xy又∵P为C的右支上一点∴22001916xy∴22001619xy∴220051611009xx即20025908190xx解得0215x或03905x（舍去）∴2200211481611619595xy∴12PFF的面积为12011481048225FFy例13.抛物线pxy22(p0)，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与抛物线准线交于C，BFCBAF2,3，求抛物线方程.对于条件BFCB2看不出几何含义，直线的倾斜角为60，利用定比分点，加大了运算量四、运算结果检验：错误有惯性，是瞬间思维短路1.等号问题：子集与真子集、区间的开与闭、大于和大于等于等，是一个盲点，建立