2011年高考一轮课时训练(理)6.4数列通项的求法 (通用版)

第四节数列通项的求法题号12345答案一、选择题1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝an－1(a为不为零的实数)，则此数列()A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或是等差数列或是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)，则数列{}an的通项公式an＝()A．2n－1B.n＋1nn－1C．n2D．n3．(2009年巴蜀联考)如果数列{an}满足a1，a2a1，a3a2，…，anan－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，则a100＝()A．2100B．299C．25050D．249504．(2009年长沙月考)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－1an＋1，则a2009＝()A．2B．－13C．－32D．15．(2009年抚州一中模拟)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝a，a2＝b，记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则下列结论正确的是()A．a2008＝－a，S2008＝2b－aB．a2008＝－b，S2008＝2b－aC．a2008＝－b，S2008＝b－aD．a2008＝－a，S2008＝b－a二、填空题6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an3an＋1，则an＝________.7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n，则an＝________.8．(2009年朝阳一模)设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝12，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项an＝________________.三、解答题9．设曲线y＝x2＋x＋1－lnx在x＝1处的切线为l，数列{an}中，a1＝1，且点(an，an＋1)在切线l上．(1)求证：数列{1＋an}是等比数列，并求an；(2)求数列{an}的前n项和Sn.10．(2009年陕西)已知数列{an}满足，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列：(2)求{an}的通项公式．参考答案1．解析：n＝1时，a1＝S1＝a－1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)＝an－1(a－1)．①当a＝1时，an＝0，数列{an}的通项公式an＝0，是等差数列，但不是等比数列；②当a≠1时，∵a≠0，数列{an}的通项公式an＝(a－1)·an－1，是等比数列，但不是等差数列，选C.答案：C2．解析：由an＝n(an＋1－an)⇒(n＋1)an＝nan＋1⇒an＋1an＝n＋1n，∴a2a1＝21，a3a2＝32，…，anan＋1＝nn－1(n≥2)相乘得：ana1＝n，又a1＝1，∴an＝n.选D.答案：D3．解析：由题设知：a1＝1，anan－1＝2n－1(n≥2)，∴a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan－1＝2n－1，相乘得：ana1＝21·22·23…2n－1＝2nn－12，an＝2nn－12，a100＝24950.答案：D4．解析：由a1＝2，an＋1＝－11＋an⇒a2＝－11＋2＝－13a3＝－11－13＝－32，a4＝－11－32＝2，a5＝－13，a6＝－32，…故数列{an}具有周期性，a3n－2＝2，a3n－1＝－13，a3n＝－32.∵2009＝3×669＋2，∴a2009＝a2＝－13.答案：B5．解析：由an＋1＝an－an－1(n≥2)⇒a3＝a2－a1＝b－a，a4＝a3－a2＝b－a－b＝－a，a5＝a4－a3＝－a－(b－a)＝－b，a6＝a5－a4＝－b－(－a)＝a－ba7＝a6－a5＝a－b－(－b)＝a.故数列具有周期性，a6n＋1＝a1，a6n＋2＝a2，a6n＋3＝b－a，a6n＋4＝－a，a6n＋5＝－b，a6n＝a－b.且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0.∵2008＝6×334＋4.∴a2008＝a4＝－a，S2008＝a1＋a2＋a3＋a4＝2b－a.故选A.答案：A6．解析：由an＋1＝an1＋3an⇒1an＋1＝1an＋3，又a1＝1，∴1an＝1＋3(n－1)＝3n－2，an＝13n－2.答案：13n－27．解析：由an＋1＝2an＋2n⇒an＋12n＋1＝an2n＋12，又a1＝1∴an2n＝12＋(n－1)·12＝n2，an＝n·2n－1.答案：n·2n－18．解析：a1＝f(0)＝12，a1＋a2＋…＋an＝f(1)＝n2·an当n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)2·an－1两式相减得：an＝n2·an－(n－1)2·an－1⇒anan－1＝n－1n＋1.∴a2a1＝13，a3a2＝24，a4a3＝35，…，anan－1＝n－1n＋1，相乘得：ana1＝1×2nn＋1，又a1＝12，∴an＝1nn＋1.答案：1nn＋19．解析：(1)由y＝x2＋x＋1－lnx，知x＝1时，y＝3.又y′|x＝1＝2x＋1－1x|x＝1＝2，∴切线l的方程为y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.∵点(an，an＋1)在切线l上，∴an＋1＝2an＋1,1＋an＋1＝2(1＋an)．又a1＝1，∴数列{1＋an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴1＋an＝2·2n－1，即an＝2n－1(n∈N*)．(2)Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2＋22＋…＋2n－n＝2n＋1－2－n.10．解析：(1)证明：b1＝a2－a1＝1，当n≥2时，bn＝an＋1－an＝an－1＋an2－an＝－12(an－an－1)＝－12bn－1，所以{bn}是以1为首项；－12为公比的等比数列．(2)由(1)知bn＝an＋1－an＝－12n－1，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋1＋－12＋…＋－12n－2＝1＋1－－12n－11－－12＝1＋231－－12n－1＝53－23－12n－1，当n＝1时，53－23－12n－1＝1＝a1，所以an＝53－23－12n－1()n∈N*.