高一数学第2讲

高一数学第2讲主讲：潘慰高（高级教师，市数学学科带头人,省教育电视台《高中教学解题方法》主讲教师）主审：金立建（特级教师，省教育电视台《高中生学习指导》主讲教师）一、本讲教学进度(代数)1.2—1.4(P13—26)二、教学内容1．并集.2.｜aX＋b｜＜C，｜aX＋b｜＞C型不等式.3.三、重点难点剖析1．补集（1元素.在研究不同问题时，全集也不一定相同.(2)A是对于给定的全集I而言的，在不同的问题中全集可能不同，A也可能不同.如A＝｛1，2｝，当I＝｛1，2，3，4｝时，A＝｛3，4｝；当I＝｛1，2，3，4，5，6，7，8｝时，A＝｛3，4，5，6，7，8｝.例1已知I＝R,A＝｛X｜1＜X≤3｝，求A，A∪A，A∩A解A＝｛X｜X≤1，或X＞3｝.A∪A＝｛X｜1＜X≤3｝∪｛X｜X≤1，或X＞3｝＝R＝I,A∩A＝｛X｜1＜X≤3｝∩｛X｜X≤1，或X＞3｝＝.说明在开始学习解这类题时，应画出数轴并借助于数轴求解，否则容易出错.例2已知I＝｛１，２，３，４，５，６｝，A＝｛3,4,5｝,B＝｛4,5,6｝,求A,B，A∪B,A∩B,)(BA.解A＝｛1,2,6｝,B＝｛1,2,3｝，A∪B｛1,2,3,6｝,A∩B＝｛4,5BA＝｛１，２，３，６｝.评析由例2，有(BA)＝A∪B.可以通过韦恩图验证，这个等式对任意的集合A、B、I都能成立.例3已知I＝R,A＝｛X｜X≥3｝，B＝｛X｜X≤1｝，求A，B，A∪B，)(BA.解A＝｛X｜X＜3｝,B＝｛X｜X＞1｝，A∩B＝｛X｜1＜X＜3｝，A∪B＝｛X｜X≤1或X≥3｝，(BA)＝｛X｜1＜X＜3｝.评析由例3,有(BA)＝A∩B，可以通过韦恩图验证，这个等式对任意的集合A、B、I都能成立.例4用n(A)表示有限集A的元素的个数.(1)已知n(A)＝20,n(B)＝15,n(A∪B)＝28,求n(A∩B)ＡＢ(2)已知n(A∩B)＝4,n(A∪B)＝18,n(A)＝10,求n(B)解(1)设n(A∩B)＝X，由韦恩图，20－ｘｘ15－ｘ∵n(A∪B)＝28,∴(20－X)＋X＋(15－X)＝28,∴X＝7,即n(A∩B)＝7.ＡＢ(2)设集合B中不属于A的无素有X个.由韦恩图，及n(A∪B)＝18，10－4＝64x10＋X＝18,∴X＝8.∴n(B)＝4＋8＝12.评析可以用韦恩图验证，一般地有n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)．但不必硬记这个式子，在涉及到有限集的元素个数时，通常只要适当地设未知数，然后利用韦恩图及已知条件，就可以求得结果.2.｜aX＋b｜＜c,｜aX＋b｜＞c(1)设f(X)＝aX＋b,一般地，有如下结论：①当c＞0时，｜f(X)｜＜c的解为－c＜f(X)＜c，｜f(X)｜＞c的解为f(X)＜－c或f(X)＞c②当c＝0时，｜f(X)｜＜c无解，｜f(X)｜＞c的解即f(X)≠0的解.③当c＜0时，｜f(X)｜＜c无解，｜f(X)｜＞c的解是全体实数.例5求满足｜2X－1｜＝｜3X＋4｜的X的值.解由绝对值的定义，2X－1＝3X＋4或2X－1＝－(3X－4),∴X＝－5或X＝－53.例6求下列不等式的解集:(1)2＜｜3X－1｜≤5；(2)｜2X＋1｜≤t2＋3(t∈R)解①不等式的解即不等式组的解：213x513x3ｘ－1＜－２或３ｘ－１＞２－５≤３ｘ－１≤５３＜－31或ｘ＞１－34≤ｘ≤２∴不等式的解集为｛X|≤－34≤X＜－31,或1＜X≤2②∵t∈R，∴t2＋3＞0.－(t2＋3)≤2X＋1≤t2＋3，－21t2－2≤X≤21t2＋1.∴不等式的解集为｛X｜－21t2－2≤X≤21t2＋1｝.(2)对于含有几个绝对值的代数式或不等式，可以用零点分段的方法去掉绝对值符号.例7(1)解方程：｜X－3｜＋｜X＋2｜＝6;(2)解不等式：｜X＋2｜＋｜X－1｜＜5.解(1)零点为3，－2,分三段讨论.当X＜－2,方程为3－X－(X＋2)＝6,X＝－25当－2≤X≤3,方程为3－X＋X＋2＝6,5＝6,无解；当X＞3，方程为X－3＋X＋2＝6,X＝27.∴方程的解集为｛－25,27｝.(2)当X＜－2,不等式为(1－X)－(X＋2)＜5,X＞－3,∴－3＜X＜－2;当－2≤X≤1,不等式为(1－X)＋(X＋2)＜5，3＜5,∴－2≤X≤1当X＞1，不等式为(X－1)＋(X＋2)＜5,X＜2,∴1＜X＜2.∴不等式的解集为｛X｜－3＜X＜2｝.评析①所谓“零点”,即使绝对值为零的X的值.若有n个零点，则分n＋1个情况讨论.由于在每区间内可以去掉绝对值符号，就把含有绝对值的方程或不等式转化为普通的方程或不等式去解.②在每一区间中求方程或不等式的解时，所求得的解必须在这个区间中.③上面的解法是含有绝对值的问题的基本方法，这两题也可以从绝对值的几何意义直接得到它们的解.－２－１０１２３ｘ解｜X－3｜＋｜X＋2｜＝6，即求数轴上到3和－2的对应点距离和等于6的点所对应的数．由数轴知，3－(－2)＝5，所以该点在3对应点的右边或在－2对应点左边21个单位，即X＝321或X＝－221.解｜X－1｜＋｜X＋2｜＜5，即求数轴上到1和－2对应点距离和小于5的点所对应数的范围．由数轴知，1－(－2)＝3，所以X应满足－3＜X＜2.－２－１０１２３ｘ3.(1)一元二次方程aX2＋bX＋c＝0(a≠0)解的符号情况：方程有两个正根;0,0,0421212acxxabxxacb方程有两个负根;0,0,0421212acxxabxxacb方程有一个正根一个负根X1·X2＝ac＜0(此时必有Δ＞0).(2)一元二次不等式.只要熟练掌握相应的抛物线与X轴位置关系，就能迅速准确地求得不等式的解.对于不等式aX2＋bX＋c＞0(＜0)，实际上就是要求抛物线y＝aX2＋bX＋c在X轴上方(下方)的点的横坐标的范围.借助于图象，把一元二次不等式的解的情况列表如下(设a＞0):Δ的情况图象不等式不等式的解Δ＞0ax2＋bX＋c＞0X＜X1或X＞X2ax2＋bX＋c＜0X1＜X＜X2Δ＝0ax2＋bX＋c＞0X≠X1ax2＋bX＋c＜0X∈Δ＜0ax2＋bX＋c＞0X∈Rax2＋bX＋c＜0X∈对于含有等号的不等式或a＜0的情况，类似地可以由图象得出不等式的解.但习惯上解一元二次不等式时，常使二次项系数a＞0.例8已知关于X的方程(k－1)X2＋(k＋1)X＋k＋1＝0有两个相异实根，求实数k的取值范围.解由题设，得.0)1)(1(4)1(012kkkk由②，(k＋1)(k＋1－4k＋4)＞0,－1＜k＜35.∴实数k的取值范围为－1＜k＜35,且k≠1.评析①两个“相异”实数根即两个不等的实数根，不同于两个“异号”实数根.②当二次项系数含有字母时，要注意仅当二次项系数不等于零时方程才有判别式.例9已知m、n是关于X的方程X2－2X＋t＝0的两个实数根。ｍ３＋n３有没有最大或最小值?如有请求出最值；如没有，请说明理由.解∵Δ＝(－2)2－4·1·t≥0,∴t≤1由韦达定理，m＋n＝2,mn＝tm3＋n3＝(m＋n)［(m＋n)2－3mn］＝2·(22－3t)＝8－6t≥8－6×1＝2.∴m3＋n3的最小值为2，无最大值.评析题中“两个实数根”是通常所说的隐含条件，它实际上暗示我们不要遗漏判别式大于或等于零的条件，在审题时一定要引起注意.例10解不等式：(1)225622xxxx≤0；(2)225622xxxx≤1；(3)2242xx＞－1.解(1)∵X2－2X＋2＝(X－1)2＋1＞0,∴原不等式与不等式X2－6X＋5≤0同解.∴原不等式的解为1≤X≤5.(2)225622xxxx－1≤0，22342xxx≤0.∵X2－2X＋2＞０，∴－４X＋3≤0.∴原不等式的解为X≥43.(3)由12242xx＞０，得222222xxxx＞0.∵X2－2X＋2＞0,∴X2－2X－2＞0.∴原不等式的解为X＜1－3或X＞1＋3.评析上面(2)、(3)两题都是采用“移项”、“通分”的方法解分式不等式，这是解分式不等式的基本方法.当分母的符号不能确定时，千万不能用两边同乘以分母的方法去分母，因为若分母为正，去分母后不等号方向不变，若分母为负，去分母后不等号要改变方向.如(3)，若两边同乘以分母X2－2X－2，把不等式变成4＞－X2＋2X＋2，即X2－2X＋2＞0①，不等式①的解集为R，显然原不等式的解集{X｜X＜1－3,或X＞1＋3}R，两个不等式不同解.当然，假如分母的符号可以确定的话，还是可以去分母的。如题(2)，因X2－2X＋2＞0，两边同乘以X2－2X＋2，原不等式变形为X2－6X＋5≤X2－2X＋2，解为X≥43，与原不等式同解.练习2一、选择题1.设全集I＝{a,b,c,d},集合M＝{a,b,c},集合N＝{b,d}，P＝{a,c,d}，则()A.P＝(NM)B.P＝(M∪N)C.N＝(M∩P)D.N＝PM2.不等式｜2X＋1｜＞3的解集为()A.{X｜X＜－2}B.{X｜X＞1}C.X＜－2或X＞1D.{X｜X＞1或X＜－2}3.设集合M＝{X｜f(X)＝0},N＝{X｜g(X)＝0},则方程)()(xgxf＝0的解集是()A.MB.M∩NC．M∪ND.M∪N4.不等式(1＋X)(2－X)≤0的解集是()A.{X｜－1＜X＜2}B.{X｜－1≤X≤2}C.{X｜X｜＜－1或X＞2}D.{X｜X≤－1或X≥2}5.设全集为I，非空集合A、B满足ABI，则()A.A∩B＝B.A∩B＝C.A∩B＝D.A∩B＝6.关于X的方程mX2－2(m－1)X＋2m－1＝0，有两个相异实根，则()A.251＜m＜251B.251＜m＜251且m≠0C.251≤m≤251D.251≤m≤251且m≠07.不等式X2－(m＋2)X＋2m＋1＞0的解集是R，则实数m的取值范围是()A.m＜0或m＞4B.0＜m＜4C.m∈RD.m∈8.不等式1x2x6xx22≤0的解集是()A.{X｜－2≤X≤3}B.{X｜－2≤X≤3,且X≠1}C.{X｜－3≤X≤2}D.{X｜－3≤X≤2,且X≠1}二、填空题9.不等式X2＋3X＋2＜4X＋14的解集为．10.不等式｜4－X｜≤1的解集为．11.设全集I＝R,M＝{X｜X≥2},N＝{X｜X2－5X＋6＜0},则M∩N＝．12.若不等式kX2＋(k－1)X＋k＋1＞0的解集为，则实数k的取值范围为.13.当a＜0时，不等式｜aX－b｜≥1的解集为.14.已知全集I＝{不大于10的正奇数}，AI，BI，A∩B＝{1,3},A∩B＝{9},)(BA＝{5,7},则A＝,B＝。三、解答题.15.解不等式：1≤｜2X＋3｜＜5.16.求不等式－3≤X2＋2X－3＜5的解集.17.设全集I＝{X｜X2－4X－12≤0},A＝{X｜X｜＜2},B＝{X｜X2－3X－4≤0},求B,)(BA.18.设集合M＝{X｜X2＋X－6≤0},N＝{X｜X－aX≥X－a}，全集I＝R,若MN，求实数a的取值范围.［答案］一、ADBDCBBB二、9.{X｜－3＜X＜4}10.{X｜3≤X≤5}11.{X｜X＜2}12.k≤332313.{X｜X≤a1b,或X≥a1b14.{1,3},{9}三、15.－4＜X≤－2，或－1≤X＜116.{X｜－4＜X≤－2,或0≤X＜2}17.B＝{X｜－2≤X＜－1,或4＜X≤6},)BA(＝{X｜－2≤X＜－1,或2≤X≤6}18.－3≤a≤2[提示］一、7.(m＋2)2－4(2m＋1)＜0,0＜m＜48.∵X2－2X＋1＝(X－1)2≥0,∴X≠1,X2－X－6≤0,－2≤X≤3,∴－2≤X≤3且X≠1.二、12.0)1k(k4)1k(0k2由②，3k2