最新6年高考4年模拟--第六章第二节数列的应用

第六章数列第二节数列的应用第一部分六年高考题荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010江西理）5.等比数列na中，12a，8a=4，函数128()()()fxxxaxaxa，则'0f（）A．62B.92C.122D.152【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则'0f只与函数fx的一次项有关；得：412123818()2aaaaaa。2.（2010江西理）4.2111lim1333nx（）A.53B.32C.2D.不存在【答案】B【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。1133lim()1213nn3.（2010北京理）（2）在等比数列na中，11a，公比1q.若12345maaaaaa，则m=（A）9（B）10（C）11（D）12【答案】C4.（2010四川理）（8）已知数列na的首项10a，其前n项的和为nS，且112nnSSa，则limnnnaS（A）0（B）12（C）1（D）2解析：由112nnSSa,且2112nnSSa作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1a2＝2a1故{an}是公比为2的等比数列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1则11121limlim(21)2nnnnnnaaSa【答案】B5.（2010天津理）（6）已知na是首项为1的等比数列，ns是na的前n项和，且369ss，则数列1na的前5项和为（A）158或5（B）3116或5（C）3116（D）158【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然q1，所以3639(1q)1-=121-q1qqqq，所以1{}na是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和5511()31211612T.【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{na}，123aaa=5，789aaa=10，则456aaa=(A)52(B)7(C)6(D)42【答案】A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5aaaaaaa，37897988()aaaaaaa10,所以132850aa,所以13336456465528()()(50)52aaaaaaaaa7.（2010湖北文）7.已知等比数列{ma}中，各项都是正数，且1a，321,22aa成等差数列，则91078aaaaA.12B.12C.322D3228.（2010安徽理）10、设na是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为,,XYZ，则下列等式中恒成立的是A、2XZYB、YYXZZXC、2YXZD、YYXXZX【答案】D【分析】取等比数列1,2,4,令1n得1,3,7XYZ代入验算，只有选项D满足。【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.（2010湖北理数）7、如图，在半径为r的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设ns为前n个圆的面积之和，则limnns=A．22rB.832rC.42rD.62r9.（2010福建理）3．设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时,n等于A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】设该数列的公差为d，则461282(11)86aaadd，解得2d，所以22(1)11212(6)362nnnSnnnn，所以当6n时，nS取最小值。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。二、填空题1.（2010浙江理）（14）设112,,(2)(3)23nnnnNxx2012nnaaxaxax，将(0)kakn的最小值记为nT，则2345335511110,,0,,,,2323nTTTTT其中nT=__________________.解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题2.（2010陕西文）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方所以第四个等式．．．．．为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.3.（2010辽宁理）（16）已知数列na满足1133,2,nnaaan则nan的最小值为__________.【答案】212【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n所以331nannn设()fn331nn，令()fn23310n，则()fn在(33,)上是单调递增，在(0,33)上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时()fn有最小值。又因为55355a，66321662a，所以，nan的最小值为62162a4.（2010浙江文）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是。答案：2nn5.（2010天津文）（15）设{an}是等比数列，公比2q，Sn为{an}的前n项和。记*2117,.nnnnSSTnNa设0nT为数列{nT}的最大项，则0n=。【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。2112117[1(2)][1(2)]1(2)17(2)161212(2)12(2)nnnnnnnaaTa116[(2)17]12(2)nn因为16(2)(2)nn≧8，当且仅当(2)n=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对(2)n进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.6.（2010湖南理）15．若数列na满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得man＜成立，记这样的m的个数为()na，则得到一个新数列()na．例如，若数列na是1,2,3,n…，…，则数列()na是0,1,2,1,n…，…．已知对任意的Nn，2nan，则5()a，(())na．三、解答题1.（2010湖南文）20.（本小题满分13分）给出下面的数表序列：其中表n（n=1,2,3）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为nb求和：32412231nnnbbbbbbbbb2.（2010全国卷2理）（18）（本小题满分12分）已知数列na的前n项和2()3nnSnn．（Ⅰ）求limnnnaS；（Ⅱ）证明：12222312nnaaan…＞．【命题意图】本试题主要考查数列基本公式11(1)(2)nnnsnassn的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.【参考答案】【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.3.（2010北京理）（20）（本小题共13分）已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)nnSXXxxxxinn…，…对于12(,,,)nAaaa…，12(,,,)nnBbbbS…，定义A与B的差为1122(||,||,||);nnABababab…A与B之间的距离为111(,)||idABab（Ⅰ）证明：,,,nnABCSABS有，且(,)(,)dACBCdAB;（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)nABCSdABdACdBC三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ)设PnS，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P).证明：d（P）≤2(1)mnm.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）证明：（I）设12(,,...,)nAaaa，12(,,...,)nBbbb，12(,,...,)nCcccnS因为ia，0,1ib，所以0,1iiab,(1,2,...,)in从而1122(||,||,...,||)nnnABabababS又1(,)||||||niiiiidACBCacbc由题意知ia，ib，ic0,1(1,2,...,)in.当0ic时，|||||||||iiiiiiacbcab;当1ic时，|||||||(1)(1)|||iiiiiiiiacbcabab所以1(,)||(,)niiidACBCabdAB(II)设12(,,...,)nAaaa，12(,,...,)nBbbb，12(,,...,)nCcccnS(,)dABk，(,)dACl，(,)dBCh.记(0,0,...,0)nOS，由（I）可知(,)(,)(,)dABdAABAdOBAk(,)(,)(,)dACdAACAdOCAl(,)(,)dBCdBACAh所以||(1,2,...,)iibain中1的个数为k，||(1,2,...,)iicain的1的个数为l。设t是使||||1iiiibaca成立的i的个数，则2hlkt由此可知，,,klh三个数不可能都是奇数，即(,)dAB,(,)dAC,(,)dBC三个数中至少有一个是偶数。（III）2,1()(,)ABPmdPdABC,其中,(,)ABPdAB表示P中所有两个元素间距离的总和，设P种所有元素的第i个位置的数字中共有it个1，imt个0则,(,)ABPdAB=1()niiitmt由于it()imt2(1,2,...,)4min所以,(,)ABPdAB24nm从而222,1()(,)42(1)ABPmmnmmndPdABCCm