【步步高】2015届高三数学北师大版(通用-理)总复习学案：学案69-正态分布

Gothedistance第1页共10页学案69正态分布导学目标：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．自主梳理1．正态分布密度曲线及性质(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝__________________________(其中实数μ和σ(σ0)为参数)的图象为正态分布密度曲线．(2)正态分布密度曲线的特点①曲线位于x轴________，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线________对称；③曲线在________处达到峰值____________；④曲线与x轴之间的面积为____；⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝________________________，则称随机变量X服从正态分布，记作________________．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σX≤μ＋σ)＝____________；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝____________；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝____________.自我检测1．(2011·大连模拟)下列说法不．正确的是()A．若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴B．正态分布N(μ，σ2)的图象位于x轴上方C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D．函数φ(x)＝12π22xe(x∈R)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ3)等于()A.15B.14C.13D.123．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ4)＝0.8，则P(0ξ2)等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.24．某随机变量ξ服从正态分布，其正态分布密度函数为φ(x)＝18π28xe，则ξ的期望和标准差分别是()A．0和8B．0和4C．0和2D．0和25.Gothedistance第2页共10页(2011·辽宁十校联考)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)和N(μ2，σ22)(σ20)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1μ2，σ1σ2B．μ1μ2，σ1σ2C．μ1μ2，σ1σ2D．μ1μ2，σ1σ2探究点一正态曲线的性质例1如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．变式迁移1若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4,4]的概率．探究点二服从正态分布的概率计算例2设X～N(5,1)，求P(6X≤7)．Gothedistance第3页共10页变式迁移2设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1X≤3)；(2)P(3X≤5)；(3)P(X≥5)．探究点三正态分布的应用例3(2011·青岛期末)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？变式迁移3在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该同学中成绩在80分～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？Gothedistance第4页共10页1．正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：φμ，σ(x)＝12πσ222xue，x∈(－∞，＋∞)．2．正态曲线的特点：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ时达到峰值12πσ.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．3．3σ原则：从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R，但实际上ξ取区间(μ－3σ，μ＋3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在实际问题中常常认为它是不会发生的．因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ－3σ，μ＋3σ)，这就是实用中的三倍标准差规则，也叫3σ原则．在企业管理中，经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程控制．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)相应的曲线，则有()A．σ11σ2σ30B．0σ1σ21σ3C．σ1σ21σ30D．0σ1σ2＝1σ32．(2011·佛山月考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξc＋1)＝P(ξc－1)，则c等于()A．1B．2C．3D．43．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φ(x)＝12π·10·280200xe(x∈R)，则下列命题中不正确的是()A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为104．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X4)等于()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585Gothedistance第5页共10页5．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A．(90,110]B．(95,125]C．(100,120]D．(105,115]二、填空题(每小题4分，共12分)6.设三个正态分布N(μ1，σ21)(σ10)，N(μ2，σ22)(σ20)，N(μ3，σ23)(σ30)的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________．7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．8．(2011·青岛模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)设X～N(10,1)．(1)证明：P(1X2)＝P(18X19)；(2)设P(X≤2)＝a，求P(10X18)．10．(12分)已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且φ(80)＝182π.(1)求正态分布密度函数；(2)估计尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的百分之几？11．(14分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正Gothedistance第6页共10页态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？学案69正态分布自主梳理1．(1)12πσ222xe，x∈(－∞，＋∞)(2)①上方②x＝μ③x＝μ1σ2π④1⑤μ⑥越小越大2．(1)abφμ，σ(x)dxX～N(μ，σ2)280128xe(2)①0.6826②0.9544③0.9974自我检测1．C2．D[由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P(ξ3)＝P(ξ3)＝12.]3．C[∵P(ξ4)＝0.8，∴P(ξ4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ0)＝P(ξ4)＝0.2，∴P(0ξ4)＝1－P(ξ0)－P(ξ4)＝0.6.∴P(0ξ2)＝12P(0ξ4)＝0.3.]4．D[由φ(x)＝12πσ222xe＝18π28xe对照得σ＝2，μ＝0，∴E(ξ)＝μ＝0，σ＝Dξ＝2.]Gothedistance第7页共10页5．A[由正态分布N(μ，σ2)性质知，x＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1σ2.]课堂活动区例1解题导引要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20.由12πσ＝12π，解得σ＝2.于是正态分布密度曲线的解析式是φμ，σ(x)＝12π2204xe，x∈(－∞，＋∞)．均值和方差分别是20和2.变式迁移1解(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142π232xe，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4X≤4)＝P(0－4X≤0＋4)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.例2解题导引求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．解由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4X≤6)＝0.6826，P(3X≤7)＝0.9544，∴P(3X≤4)＋P(6X≤7)＝0.9544－0.6826＝0.2718.如图，由正态曲线的对称性可得P(3X≤4)＝P(6X≤7)∴P(6X≤7)＝0.27182＝0.1359.变式迁移2解∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1X≤3)＝P(1－2X≤1＋2)＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3X≤5)＝P(－3X≤－1)，∴P(3X≤5)＝12[P(－3X≤5)－P(－1X≤3)]＝12[P(1－4X≤1＋4)－P(1－2X≤1＋2)]Gothedistance第8页共10页＝12[P(μ－2σX≤μ＋2σ)－P(μ－σX≤μ＋σ)]＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359.(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，∴P(X≥5)＝12[1－P(－3X≤5)]＝12[1－P(1－4X≤1＋4)]＝12[1－P(μ－2σX≤μ＋2σ)]＝12(1－0.9544)＝0.0228.例3解题导引正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．解∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.6826，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．变式迁移3解∵成绩服从正态分布N(80,52)，∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.这样成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%.设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.又μ－2σ＝80－10＝70