【成才之路】2015-2016学年高中数学-第2章-1离散型随机变量及其分布列课时作业-北师大版选修

1【成才之路】2015-2016学年高中数学第2章1离散型随机变量及其分布列课时作业北师大版选修2-3一、选择题1．若随机变量X的分布列如下表所示，则表中a＝()X＝xi1234P(X＝xi)121616aA.12B.16C.56D．0[答案]B[解析]根据随机变量的分布列的性质可得a＝1－12－16－16＝16.2．离散型随机变量ξ所有可能值的集合为{－2,0,3,5}，且P(ξ＝－2)＝14，P(ξ＝3)＝12，P(ξ＝5)＝112，则P(ξ＝0)的值为()A．0B.14C.16D.18[答案]C[解析]根据离散型随机变量分布列的性质有P(ξ＝－2)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝1，所以14＋P(ξ＝0)＋12＋112＝1.解得P(ξ＝0)＝16.3．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝ann＋(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(12ξ52)的值为()A.23B.34C.45D.56[答案]D2[解析]因为P(ξ＝n)＝ann＋(n＝1,2,3,4)，所以a2＋a6＋a12＋a20＝1，所以a＝54，因为P(12ξ52)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝54×12＋54×16＝56.故选D.4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，P(ξ＝0)等于()A．0B．12C.13D．23[答案]C[解析]设ξ的分布列为ξ01Pp2p则“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p.∴由p＋2p＝1得p＝13.应选C.5．已知离散型随机变量的分布列如下：X0123P0.10.□00.150.4□其中□为丢失的数据，则丢失的数据分别为()A．2,0B．2,5C．3,0D．3,5[答案]D[解析]由题知，随机变量取所有值的概率之和等于1，可以得到应填的数据分别为3,5.故选D.二、填空题6．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ8)＝________，P(6ξ≤14)＝________.[答案]2323[解析]因为P(ξ＝5)＋P(ξ＝6)＋…＋P(ξ＝16)＝1，且P(ξ＝5)＝P(ξ＝6)＝…＝P(ξ＝16)，所以P(ξ＝5)＝P(ξ＝6)＝…＝P(ξ＝16)＝112，则P(ξ8)＝P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＋…＋P(ξ＝16)＝112×8＝23.P(6ξ≤14)＝p(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋…＋P(ξ＝314)＝112×8＝23.7．设随机变量ξ的分布列为ξ1234P13m1416则m＝________，η＝ξ－3的分布列为________．[答案]14η－2－101P13141416[解析]首先由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1，得m＝14.再由随机变量ξ和η＝ξ－3表示的试验结果是相同的，可以求出η＝ξ－3对应的概率，列出分布列．8．已知离散型随机变量的分布列如下：X0123Pm0.332m0.45则m的值为________．[答案]0.1[解析]由分布列的性质(2)，可得m＋0.3＋32m＋0.45＝1，解得m＝0.1.三、解答题9．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝0，摸出白球，1，摸出红球.求X的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．[解析](1)X的分布列如下表：X01P37474(2)P(X＝0)＝C23C127＝17，P(X＝1)＝1－17＝67.X的分布列如下表：X01P1767[反思总结]两点分布是一种常见的分布，它的特点是：(1)X的取值只有两种可能；(2)列两点分布列时要注意：保证其概率和为1.10.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条线路．(1)求3个旅游团选择3个不同线路的概率；(2)求选择甲线路的旅游团数的分布列．[解析](1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为A3443＝38.(2)设选择甲线路的旅游团数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝3343＝2764，P(ξ＝1)＝C13·3243＝2764，P(ξ＝2)＝C23·343＝964，P(ξ＝3)＝C3343＝164.所以ξ的分布列为ξ＝k0123P(ξ＝k)27642764964164一、选择题1．已知离散型随机变量X的分布列为X123…nPknknkn…kn则k的值为()A.12B．1C．2D．3[答案]B[解析]由分布列的性质可知nkn＝1，∴k＝1.52．设离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝k15，k＝1,2,3,4,5，则P(12X52)等于()A.12B.19C.16D.15[答案]D[解析]P(12X52)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝115＋215＝15.3．某人练习射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完则停止射击，射击次数为X，则“X＝5”表示的试验结果为()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．前5次均未击中目标[答案]C[解析]本题易错选为A，其实“X＝5”只能说明前4次均未击中目标，而第5次射击有可能击中目标，也有可能子弹打完而未击中目标．4．设X是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X的概率分布列的一组数是()A．1,0B．0.1,0.2,0.3,0.4C．p,1－p(p为实数)D.11×2，12×3，…，1n－n，1n(n∈N＋)[答案]C[解析]随机变量的分布列具有两个性质：①非负性；②概率之和为1.可以根据这两个性质解决．A、B显然满足性质，适合．C中，设p＝3，显然1－p＝－20不满足非负性．D中有11×2＋12×3＋…＋1n－n＋1n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＋1n＝1，故选C.[反思总结]在处理随机变量分布列的有关问题时，应充分利用分布列的性质求解．二、填空题5．袋中有4只红球和3只黑球，从中任取4只球，取到一只红球得1分，取到一只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.[答案]13356[解析]可能的情形为：4红，3红1黑，2红2黑，1红3黑，对应的得分依次是4分，6分，8分，10分．P(X≤6)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝C44C47＋C34C13C47＝135＋1235＝1335.6．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ckk＋(c为常数)，k＝1,2,3，则P(0.5ξ2.5)＝________.[答案]89[解析]由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，得c＝43，P(0.5ξ2.5)＝1－P(ξ＝3)＝1－433×4＝89.三、解答题7.设随机变量X的分布列为P(X＝k5)＝ak，(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P(X≥35)；(3)P(110X710)．[分析]分布列有两条重要的性质：Pi≥0，i＝1,2，…；P1＋P2＋…＋Pn＝1利用这两条性质可求a的值．(2)(3)由于X的可能取值为15、25、35、45、1.所以满足X≥35或110X710的X值，只能是在15、25、35、45、1中选取，且它们之间在一次实验中没有联系，只要求得满足条件各概率之和即可．[解析](1)由a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1得a＝115.(2)因为分布列为P(X＝k5)＝115k(k＝1、2、3、4、5)解法一：P(X≥35)＝P(X＝35)＋P(X＝45)＋P(X＝1)＝315＋415＋515＝45.解法二：P(X≥35)＝1－[P(X＝15)＋P(X＝25)]＝1－[115＋215]＝45.(3)因为110X710，只有X＝15、25、35时满足，故P(110X710)＝P(X＝15)＋P(X＝25)＋P(X7＝35)＝115＋215＋315＝25.[反思总结]随机变量并不一定要取整数值．它的取值一般来源于实际问题，且有其特定的含义，因此，可以是R中的任意值．但这并不意味着可以取任何值．它只能取分布列中的值．而随机变量取某值时，其所表示的某一实验发生的概率值，必须符合性质．8.设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X表示方程x2＋bx＋c＝0的实根的个数(重根按一个计)，求X的分布列．[解析]由题意，X的可能取值为0,1,2.随机试验的所有可能结果构成的集合为{(b，c)|b、c＝1,2，…，6}，元素总个数为36.X＝0对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c0，b、c＝1,2，…，6}，元素个数为17；X＝1对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c＝0，b、c＝1,2，…，6}，元素个数为2；X＝2对应的结果构成的集合为{(b，c)|b2－4c0，b、c＝1,2，…，6}，元素个数为17.由此可知，P(X＝0)＝1736，P(X＝1)＝118，P(X＝2)＝1736，故X的分布列为X＝xi012P(X＝xi)17361181736[反思总结]本题将分布列和方程相结合，解题关键是理清方程有根的条件，进而计算出试验的所有基本事件数以及随机事件所包含的基本事件数．比如方程实根个数为1，则Δ＝0，利用它找到骰子之间的关系．