新人教版17.1勾股定理(第二课时)2

问题1：请说一说勾股定理的具体内容。∵在Rt△ABC中,∠C=90º,AB=c,AC=b,BC=a,a2+b2=c2.①已知a、b，则c=②已知a、c，则b=③已知c、b，则a=cabABC问题2：勾股定理应用的条件有哪些？22ba22ac22bc有两种特殊的直角三角形，已知一边可以求另外两边长ACBbac45°ACBbac30°a=5cm时求b=？c=？c=6cm时求b=？a=？::1:1:2abc::1:3:2abc一个门框尺寸如下图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ABC1m2m∵木板的宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；∵木板的宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过．∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？一、勾股定理解决门框是否通过问题1、一辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？2()m222.51.5OA1.5mCD.分析：隧道宽度是足够的,所以卡车能否通过，只要看卡车位于隧道中线一侧时，其右侧高度是否小于（）.？因为2＞1.8，高度上有0.2米的余量，所以卡车能通过隧道.CD连接OD，得到RtΔOCD如何求CD呢？22OCODCD解：在RtΔOCD中，由勾股定理得222OCODCD知识扩展练一练、一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?2.3米2米ABCDOH.分析：1、厂门的宽度足够，所以卡车能否通过，只要看卡车位于厂门正中间时，其高度是否小于（），要求CH就必须先求（），而要求出CD我们可以建立RtΔ（）。2、在RtΔOCD中，直角边OD=（）斜边OC=（）CHCDOCD1米0.8米22ODOCCD6.08.0122解：在RtΔOCD中，由勾股定理得CH=0.6+2.3=2.9＞2.5因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.0.8m1m知识扩展练一练有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）50dmABCD22225050500071()ACABBCdm解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AC=BC=50,∴由勾股定理可知：如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出A、B两点间的距离吗？（结果保留整数）一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？ABCDE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°∴AC2+BC2＝AB22.42+BC2＝2.52∴BC＝0.7m由题意得：DE＝AB＝2.5mDC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m在Rt△DCE中，∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m答；梯子底端B不是外移0.4m∵∠DCE=90°∴DC2+CE2＝DE222+BC2＝2.52∴CE＝1.5m二、勾股定理解决梯子移动问题如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C，请同学们:猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值是多少?（结果保留两位小数）BDCOA在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解:设水池的深度AC为X米,则芦苇高AD为(X+1)米.根据题意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1X=12∴X+1=12+1=13(米)答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.三、勾股定理解决芦苇倾斜问题荷花问题平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;渔人观看忙向前,花离原位二尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅.0.5xx+0.522222(0.5)xx2240.25xxx40.25x3.75()x尺答：湖水深3.75尺.探究新知可用勾股定理建立方程.实数数轴上的点一一对应说出下列数轴上各字母所表示的实数：ABCD-2-1012点C表示点D表示点B表示32点A表示2137四、利用勾股定理在数轴上表示无理数我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出的点吗？1301234步骤：lABC1、在数轴上找到点A,使OA=3;2、作直线L⊥OA,在L上取一点B，使AB=2;3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示的点。13你能在数轴上画出表示的点和的点吗？1517∴点C即为表示的点13你能在数轴上画出表示的点吗？13探究1:31322131301234lABC你能在数轴上画出表示的点和的点吗？1517117?164√115?14215?11315?6415?1√01234ABC41717411541576431122你能在数轴上表示出的点吗？2522?呢探究:113213??12239334567?用相同的方法作,,,,,....呢0在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案由此可知,利用勾股定理,可以作出长为21146785101112139161819171415n1111111111111111第七届国际数学教育大会的会徽31数学海螺图：的线段.2,3,5,,n1.（丹东·中考）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是______.2.如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画出几条边长为的线段?A103.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.ＯＤＣＥＦＨxy(2,1)1255(5,0)(5,0)5(4,0)xx2x2221(2)xx22144xxx54x解得5(,0)4在△ABC中，D为BC边上的高，已知AB=15，BC=30，AC=20，求BD的长？五、利用勾股定理建立方程方程思想：两个直角三角形中，如果有一条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.变式训练：△ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积.ABC17108D861515621或9S△ABC=84或36当题中没有给出图形时，应考虑图形的形状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBDx25-x解：设AE=xkm，根据勾股定理，得AD2+AE2=DE2BC2+BE2=CE2又∵DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站应建在离A站10km处。∴X=10则BE=（25-x）km1510五、利用勾股定理建立方程勾股定理中折叠问题折叠和轴对称密不可分，利用折叠前后图形完全重合、全等，找到对应边、对应角相等便可顺利解决折叠问题矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上F处，已知AB=8，BC=10，求EF的长。ABCDFE解:设DE为X,X则CE为(8－X).由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=1010108在Rt△ABF中AB2+BF2＝AF282+BF2＝102∴BF＝6∴CF＝BC－BF＝10－6＝464在Rt△EFC中CE2+CF2＝EF2(8－X)2+42=X2解得X=5即EF=5六、折叠问题(8-X)2、试求下列图形中阴影部分的面积（1）阴影部分是正方形25cm²（2）阴影部分是半圆8πcm²七、图形中阴影部分的面积问题如图，分别以Rt∆ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，猜想S1、S2、S3之间有什么关系？请加以说明。)(321281228128128132281223281222281221321ｓｓｓｓｓｓｓｓｓｓｓ分析：２１２１２１ABBCACBCACBCACABBCACAB3S1S2S知识扩展练一练321241224124124132241223241222241221sssABBCACBCACssBCsACsABsBCACAB解：如图，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆，求三个圆的面积之间的关系。1S2S3SCBA知识扩展练一练如图，已知直角三角形ABC的三边分别为6、8、10，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，求图中阴影部分的面积。248621:,,,132321ABCABCSSSSSSSBCSACSAB阴影则的半圆面积为为直径以圆面积为为直径的半以积为为直径的半圆面解：设以知识扩展练一练乙甲八、勾股定理应用中:航海问题甲轮船以１５海里／时的速度从港口向东南方向航行，乙船同时以２0海里／时速度向东北方向航行求它们离开港口２小时后相距多远？北南西东港口AB解:2小时甲、乙各行的路程是甲：202=40乙：152=30东南方向与东北方向夹角是90由勾股定理可知AB=40+30AB=50海里答：它们离开港口2小时后相距50海里.222甲乙日常生活中常见的垂直关系有哪些？东北西南BAC九、利用勾股定理解决最短路径问题1.两点之间，最短！2.一个圆柱体的侧面展开图是,它的一边长是,它的另一边长是.线段长方形圆柱的高底面圆的周长AB我怎么走会最近呢?例1:如图所示,圆柱体的底面直径为6cm,高AC为12cm,一只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,试求出爬行的最短路程.(π取3）CD议一议：分组讨论、合作交流、动手实践。AB两点之间线段最短为什么这样走最短？ABCACBAB解:如上图，在Rt△ABC中,BC＝πr＝9cm，∴AB＝＝＝15（cm）（勾股定理）．答：最短路程约为15cm．2212922BCACCBA高12cmBA长18cm(π的值取3)9cm∵AB2=92+122=81+144=225=∴AB=15(cm)答:蚂蚁爬行的最短路程是15cm.152解:将圆柱如图侧面展开.在Rt△ABC中,根据勾股定理C几何体的表面路径的最短的问题，一般将立体图形展开为平面图形来计算。①展平：只需展开包含相关点的面。可能存在多种展开法。②定点：确定相关点的位置。③连线：连接相关点，构建直角三角形。④计算：利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。展开思想（求立体图形中最短路程问题的“四步法”）最短路程问题例1:如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(取3）是()A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定BB8OA2蛋糕ACB８周长的一半６开学了，小华的妈妈为她准备了一把长为85cm的雨伞和一个行李箱，行李箱长为40cm，宽为30cm，高为70cm，问能否把雨伞放进这个行李箱中？DBCA40米30米60米40米30米xx60米ABCX2=302+402=50AB2=602+