八年级下册勾股定理专题讲义

八年级下册勾股定理专题讲义1.勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc.２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：cbaHGFEDCBA4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简得证：222abc方法二：bacbaccabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb，化简得证：222abc方法三：abccbaEDCBA1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证：222abc３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形,当考察对象不是直角三角形时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb②可运用勾股定理解决一些实际问题5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即：222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13等③用含字母的代数式表示：若a，b，c为勾股数，则ka，kb，kc也可构成直角三角形（k＞0）题型一：直接考查勾股定理例１.在△ABC中，90C.⑴已知6AC，8BC．求AB的长．⑵已知17AB，15AC．求BC的长．分析：直接应用勾股定理222abc练习１.在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为．练习2.边长为a的正三角形的面积为．练习3.一长方体盒子长，宽，高分别是4米，3米，12米，盒内可放的棍子最长为．练习4.一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_________cm．中考链接：（2008昆明，14，3分）如图，有一个圆柱，高为16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是_________cm.（取3）AB（2012昆明，20，6分）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30，荷塘另一端D处与C、B在同一条直线上，已知32AC米，16CD米，求荷塘宽BD为多少米？(结果保留根号)运算技巧总结：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在△ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝．⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为．⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为．分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例3.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来中考链接：（2011昆明，9改编，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=15，AB的垂直平分线ED交BC的延长线与D点，垂足为E，则AD=（2008昆明，9改编，3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=900，AC=6cm，AB=8cm，把AB边翻折，使AB边落在BC边上，点A落在点E处，折痕为BD，则DB的值为_________第9题图EDCBA题型三：实际问题中应用勾股定理例4.如图有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m．ABCDE分析：根据题意建立数学模型，如图8ABm，2CDm，8BCm，过点D作DEAB，垂足为E，则6AEm，8DEm练习1.如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有m．练习2.一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小船相距海里．练习3.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，旗杆的高度为米．练习4.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为________．CBADEF练习5.如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”.他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草．练习6.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？题型四：折叠类问题（解决折叠问题的关键是寻找图中相等的线段）例5.已知，如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.6B.8C.10D.12练习1.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？ABEFDC中考链接：（2012昆明，22改编，4分）如图，把矩形ABCD沿直线MN折叠，D点与B点重合，连接BM、DN.若AB=2，AD=6，求MD的长．（2014昆明，14改编，3分）如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则EF=cm．（2015昆明，22改编，4分）如图，AH是圆的直径，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．若CD=10，EB=5，求圆的直径．第14题图QHGFEDCBA6.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边．①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形．②定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边．7.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：DCBAADBCDCAB题型五：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为直角三角形．①1.5a，2b，2.5c②54a，1b，23c练习1.三边长为a，b，c满足10ab，18ab，8c的三角形是什么形状？练习2.若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC为三角形．题型六：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例7.已知ABC中，13ABcm，10BCcm，BC边上的中线12ADcm，求证：ABAC．DCBA练习1.如图,已知:ABC中,CDAB于D,AC=4,BC=3,BD=59(1)求CD的长;(2)求AD的长;(3)求AB的长;(4)求证：ABC是直角三角形．