直线与圆的位置关系

Gothedistance学案50直线、圆的位置关系导学目标：1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：(1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔________，d＝r⇔________，dr⇔________.2．圆的切线方程若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____________________________．注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________．3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|＝1＋k2|xA－xB|＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB].说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．4．圆与圆的位置关系(1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________.判断圆与圆的位置关系常用方法：(几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2(r1≠r2)，则|O1O2|r1＋r2________；|O1O2|＝r1＋r2______；|r1－r2||O1O2|r1＋r2________；|O1O2|＝|r1－r2|________；0≤|O1O2||r1－r2．(2)已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.自我检测1．(2010·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是()A.－34，0GothedistanceB.－∞，－34∪[)0，＋∞C.－33，33D.－23，02．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝03．(2011·宁夏调研)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为()A．2B．23C．3D．255．(2011·聊城月考)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离探究点一直线与圆的位置关系例1已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．变式迁移1从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．探究点二圆的弦长、中点弦问题例2(2011·汉沽模拟)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.Gothedistance(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．变式迁移2已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.(1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．探究点三圆与圆的位置关系例3已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．变式迁移3已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；(2)⊙B的半径最小时圆的方程．Gothedistance探究点四综合应用例4已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．变式迁移4已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)若O为坐标原点，且OM→·ON→＝12，求k的值．1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”．3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手．(满分：75分)Gothedistance一、选择题(每小题5分，共25分)1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是()A．相离B．相切或相交C．相交D．相切2．(2011·珠海模拟)直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于()A.3或－3B．－3或33C．－33或3D．－33或333．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A.3B．2C.6D．234．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是()A．(4,6)B．[4,6)C．(4,6]D．[4,6]5．(2010·全国Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA→·PB→的最小值为()A．－4＋2B．－3＋2C．－4＋22D．－3＋22二、填空题(每小题4分，共12分)6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a0)的公共弦的长为23，则a＝________.7．(2011·三明模拟)已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________.8．(2011·杭州高三调研)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点．(1)当α＝3π4时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．10．(12分)(2011·湛江模拟)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．11．(14分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：(1)m取何值时两圆外切？Gothedistance(2)m取何值时两圆内切？(3)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．学案50直线、圆的位置关系自主梳理1．相切相交相离(1)相交相切相离(2)相交相切相离2.x0x＋y0y＝r2(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r24.(1)相离外切相交内切内含相离外切相交内切内含(2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0自我检测1．A2.D3.B4.B5.B课堂活动区例1解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型：当P在圆外时，有2条切线；当P在圆上时，有1条切线；当P在圆内时，不存在．(2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类．(3)切线长的求法：过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，则|PM|＝|PC|2－R2.解(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由|k＋2|1＋k2＝2，解得k＝2±6，得y＝(2±6)x.②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3.∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.综上，圆的切线方程为y＝(2＋6)x，或y＝(2－6)x，或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得x21＋y21＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．当|PM|取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0.Gothedistance解方程组2x＋y＝0，2x－4y＋3＝0，得点P的坐标为－310，35.变式迁移1解设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝|k＋2－2k|k2＋1，∴k＝34，另一条斜率不存在，方程为x＝2.∴切线方程为x＝2和3x－4y＋6＝0.圆心C为(1,1)，∴kPC＝3－12－1＝2，∴过两切点的直线斜率为－12，又x＝2与圆交于(2,1)，∴过切点的直线为x＋2y－4＝0.例2解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r.方法一代数法：弦长|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2；方法二几何法：弦长|AB|＝2r2－d2.(2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系．解(1)方法一如图所示，|AB|＝43，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，连接AC、BC，则|AD|＝23，|AC|＝4，在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C到直线AB的距离公式，得|－2k－6＋5|k2＋－12＝2，解得k＝34.当k＝34时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0.∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.方法二当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5.联立直线与圆的方程y＝kx＋5，x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0.①设方程①的两根为x1，x2，Gothedistance由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k－41＋k2，x1x2＝－111＋k2.②由弦长公式，得1＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝43.将②式代入，解得k＝34，此时直线方程为3x－4y＋20＝0.又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0.∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.(2)设过P点的圆C的弦的中点