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芬斯勒时空中的宇宙论北京师范大学天文系曹盛林能量力和动量力•力等于动量随时间的变化－－动量力Fp•力等于能量随距离的变化－－能量力FedtdPFpdrdEFe能量力和动量力相等吗？•Fp=Fe•是否总是无条件成立的？哈密顿原理•动量•能量tSErSP作用量对时空微分的顺序•动量力：作用量先对距离微分•能量力：作用量先对时间微分2pSFtr2eSFrt平坦时空微分顺序可交换•动量力恒等于能量力•其中C为作用量。epFFPEtrPrEtC什么是基本的物理量？•力、能量、动量和作用量•能量LT•力作用量TL•动量普朗克常数就是作用量•从黑体能量分布的研究发现，作为人为的常数引入；•量纲是作用量。能否认为微观（量子）世界的实质是：物质的辐射和转移是以普朗克常数h为基元的。其自然的结果是：•能量、动量、时间和空间不再是独立量！“测不准关系”正是约束条件！•ET=h=PL正则变换中的一对正则量在量子世界中是相互约束的。时空微分顺序不可交换•动量力不等于能量力•其中K和C为对易子。22epFFSSKtrrtPrEtCC和四维间隔•如果令△p=mv和△E=mc2则有•或2mvrmctC2222:trctCsm是＋△s2或－△s2•是△p△r－△E△t或是△E△t－△p△r也就是C取正或C取负这是人为的。•为消除人为的影响，可将它们取平方。于是有•或224222222:srctctr44442222dscdtdrcdtdr利用芬斯勒几何扩展时空结构•物理理论和几何学—物理学的实质性进展总伴随着几何结构的变化。狭义相对论：闵柯夫斯基空间（伪欧基里德空间）；广义相对论：爱因斯坦空间（伪黎曼空间）；量子力学：希尔伯特空间。•关于芬斯勒(Finsler)时空—芬斯勒几何就是没有二次型限制的黎曼几何。时空结构向高次形式发展：二次形式是基于地球上局部测量建立起的欧氏几何和牛顿第二定律的需要而出现的。考虑更一般的情况应该突破二次形限制，几何上就进入了芬斯勒空间。陈省身先生的诗物理几何是一家，共同携手到天涯。黑洞单极穷奥秘，纤维连络织锦霞。进化方程孤立异，对偶曲率瞬息差。畴算竟有天人用，拈花一笑欲无言。杨振宁先生的诗天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。黎曼：《关于几何基础中的假设》•1854年，黎曼在哥丁根的就职演说《关于几何基础中的假设》，推广高斯的内蕴几何思想，首先提出了n维流形的概念，定义了流形两点间的距离：ds2=∑gijdxidxj并以此出发建立了一般的黎曼几何。•在演说中黎曼指出：“其次简单的情形可能是ds能用四次微分形式的四次方根表达的流形。对这个比较一般的情形的研究实际上并不要求本质上不同的方法。”（见《数学珍宝》p606)物理学家对芬斯勒几何的论述•1924年爱丁顿在《相对论的数学理论》一书中在讨论“几何学分支和电动力学”时提及，通常采用基本张量*Gij=gij+Fij其中gij为对称张量Fii为反对称张量。为得到新的不变量，我们可利用表达式*Bijkl*Blmnidxjdxkdxmdxn，从而得到新的理论洞察力。•1977年Rindler在《相对论精义》一书中提到芬斯勒几何并给出一类非黎曼度规：ds2=(dx4+dy4)1/2。•Asanov研究了相对论的芬斯勒推广；他用芬斯勒空间的密切黎曼度量张量取代通常广义相对论中的黎曼度量张量，在分析了爱因斯坦场方程对拉格朗日密度构造的限制条件的基础上指出：目前已知的，仅有唯一的非黎曼度规函数满足限制条件。41])(([),(41iAAizxSzxF时空坐标变换及其特征•四次形式的四维间隔不变量令v=vx则有：c4dt4+dx4+dy4+dz4–2c2dt2dx2+2dy2dz2=c4dt’4+dx’4+dy’4+dz’4–2dt’2dx’2+2dy’2dz’2。能否建立新时空变换保证这类四次形式不变？时空变换及其逆变换'.,',21'',21''442442zzyyvtxxcxtt.',',21',21'442442zzyyvtxxcxtt.cv其中用对偶速度v1=c2/v表示的时空变换及其逆'.,',21'',21''4412111441211zzyyctxxcxtt.',',21',21'441211441211zzyyctxxcxtt.111vccv其中时空变换群•时空变换群是一个群而通常的罗仑兹群是时空变换群的唯一子群。速度合成公式速度合成公式最能表现时空群的全部性质21cwvvwV速度合成公式可写成故易得：(1)wc,vc→Vc,(2)wc,vc（或wc,vc）→Vc,(3)wc,vc→Vc,(4)w=c（或v=c）→V=c(柏格曼:相对论引论)21))(1(11cvwcwcvcV时空变换群的性质•两个亚光速变换的合成仍是亚光速变换；•超光速与亚光速变换的合成是超光速变换；•两超光速变换的合成是亚光速变换；•光速与任何速度（包括超光速,亚光速的速度和光速本身）的合成速度仍是光速。•通常的相对论仅讨论了前，后两个性质！狭义相对论中的速度合成•狭义相对论认为一切运动速度都低于真空中的光速c，因此参与合成的两个速度均小于或等于c，于是得到图中所示的合成速度。•光速和任意速度的合成仍是光速。0.5c和2c的合成速度易达极大•速度合成公式存在奇点长度和速度间的关系•爱因斯坦认为当速度运动到光速，在静系看来一个球会压缩成饼了，所以大于光的速度变得没意义了。但按新的时空变换关系当越过光速以后，压缩成的饼又重新扩张形成一个对称图像。光速是一个临界点，而时空图中的光锥将是一临界面。•从突变论观点来看，光锥实际上是一个突变面。能量，动量和速度的关系•爱因斯坦认为，当运动物体接近光速，能量就变成无限大，超光速的速度没有存在的可能。•这里的结果表明当运动超光速后能量反又下降，光速也是临界点。结构稳定性和事态空间•结构稳定性问题当一个体系受到外界干扰时，对于微小的干扰只引起系统状态作相应的微小变化；这样的体系称为是结构稳定的。反之，对于微小扰动能引起系统巨大变化的体系称为结构不稳定的。•事态空间通常人们处理物理问题往往一开始就注重初始条件和边界条件。其实已将我们的注意力限制在一个狭小的范围内了。如果一个N维体系有M个自由系数，则我们可将这M个系数视为连续变化的独立参量并构成一个N+M维的新空间，称它为事态空间。于是通常研究的物理问题成了事态空间的一个子域中的问题。•体系状态的多重性和临界面一个体系可能有很多不同情况的解，这些解在事态空间构成不同的子域，这些子域间由一些具有某些奇异点组成的特殊面连接，如何找出这些特殊的临界面，是突变理论的基本特征。突变理论的三个定理•隐函数定理:令f(x)=f(x1,x2,…,xn)在点x0是具有非零梯度的函数，即：▽f|x0≠0则可能找到一个新坐标系y=y(x)使得f=y1.•莫尔斯引理:黑森矩阵H定义为：若▽f=0,detH≠0,则可得：f≡Mni莫尔斯鞍Mni(y)=－y12－…－yi2+yi+12+…+yn2莫尔斯鞍Mn0在y=0有极小值。唯一稳定的莫尔斯鞍是Mn0。•托拇定理：•A分裂引理令f(x)在某点x0有:▽f=0,detH=0如果黑森H有l个零本征值和i个负本征值，则函数f(x)可分裂为：f(x)=fNM(x’1,…,x’l)+Mn-li(x’l+1,…,x’n)非莫尔斯函数fNM(x’1,…,x’l)可以分类：•B分类定理令fNM(x’,c)是由分裂引理划分出的非莫尔斯函数，它依赖于k个控制参量和l个状态参量，则有：fNM(x’,c)=Cat(l,k),Cat(l,k)=CG(l)+Pert(l,k)Cat(l,k)是突变函数，CG(l)是芽（germ)Pert(l,k)是扰动。][2jixxfH时空突变及其意义•ds4与ds2的比较从微分映射理论观点ds2和ds4是拓扑等价的，它们在零点附近有相同的性质。但芽y=x2它在零点是拓扑（甚至是微分）稳定的，而芽y=x4在零点是微分（甚至是拓扑）不稳定的。•时空突变利用突变理论可以证明在芬斯勒度量ds4定义下的时空是会发生突变的。它是属于通常突变理论中的所谓双尖点（doublecusp)突变。它有三种基本类型：x4+y4,x4－y4,•和x4+y4－2δx2y2。•光锥是临界面通常相对论意义下的光锥和视界将是临界面，其上发生突变的结果是产生超光速和亚光速运动偶。因此，不可能在通常“力”的作用下把一个亚光速运动的元粒子加速到超光速。•类时，类空和光锥间的转换光锥是突变面，因此两个足够能量的光子可转换成超光速和亚光速粒子对，相反，超光速和亚光速粒子对可转换成一对相应能量的光子，完全类似于正反粒子对和光子或介子对间的彼此转换。光锥是发生突变的临界面•时空状态函数f(T,X,Y,Z)=T4+X4+Y4+Z4－2T2X2+2Y2Z2,•令f=0,和fs’=0这里,s=T,X,Y,Z。即•黑森矩阵H（T，X，Y，Z）sffs',0)(4'22XTTTffT,0)(4'22ZYYYffY,0)(4'22YZZZffZ,0)(4'22TXXXffX22222222412800841200004128008412),,,(YZZYYZZYTXXTTXXTZYXTH托姆定理用于时空结构•非退化子矩阵H（Y，Z）：•退化子矩阵H（T，X）：•剖分引理将f分为：fM(Y,Z)=Y4+Z4+2Y2Z2莫尔斯部分fNM(T,X)=T4+X4－2T2X2非莫尔斯部分•莫尔斯部分的莫尔斯鞍：M02=Y2+Z2•子流形M（T，X）分为：H(T,X)≠0T2－X20时空的类时态（物质态）X2－T20时空的类空态H(T,X)=0T=±X类光突变态（奇点）T=X=0原点(平庸奇点)可见，通常相对论中的光锥乃是时空流形中的突变面。222241288412),(YZZYYZZYZYH222241288412),(TXXTTXXTXTH爱因斯坦场方程•爱因斯坦张量:Gij=Rij－gijR•分量形式的场方程:Gij=8πTij张量形式的场方程:G=8πT宇宙学常数ΛGij－Λgij=8πTij1929年哈勃发现宇宙正在膨胀,宇宙常数的引入显得有些多余.1931年4月爱因斯坦抛弃了未经证明的宇宙常数.天文最新观测似乎要求宇宙常数的存在.暗能量问题•微波背景辐射•射电星系•宇宙的量天尺－－超新星•宇宙正加速膨胀Ωm=0.3,ΩΛ=0.7芬斯勒结构及其三个不变量•芬斯勒结构：函数F：TM→[0，∞）满足：1)F(x,λy)=λF(x,y)2)F|TM\{0}是C∞的；3)在TM\{0}正定。称F为M上的芬斯勒结构。•希尔伯特形式：构造了一个1-形式，它是SM上的整体微分形式，称为希尔伯特形式。利用嘉当结构方程可由它得到芬斯勒结构中的联络1-形和曲率2-形。•基本张量：利用欧拉齐次函数特性可得：F2(x,y)=gijyiyj。其中：称基本张量或芬斯勒度规张量。•嘉当张量：嘉当张量定义为：或由基本张量gij的定义可得：),0[RjixxF][212jydxFjjiijyyyxFyxg),(21),(22kijijkygC221kjiijkyyyFC2341芬斯勒度规的突变性质•结合突变理论和芬斯勒几何,当希尔伯特形式和基本张量为零时,恰好符合突变条件.而按相对论,突变面恰好是奇点和光锥.这使通常相对论中的奇点和光锥有了新的性质.•类时和类空测地线就是突变的两种结果,