-人教版高中数学必修五专题余弦定理习题(含答案)

余弦定理一、选择题1．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．42．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π33．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B．8－43C．1D.234．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝42，B＝45°，则sinC等于()A.441B.45C.425D.44141二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c＝3，则B＝________.7．在△ABC中，已知a，b是方程x2－5x＋2＝0的两根，C＝120°，则边c＝________.8．(2015·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－14，3sinA＝2sinB，则c＝________.三、解答题9．(2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求∠B的大小；(2)求2cosA＋cosC的最大值．10．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且满足(sinA－sinB)(sinA＋sinB)＝sinC(2sinA－sinC)．(1)求角B；(2)若sinA＝35，求cosC的值．答案与解析1．A在△ABC中，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2×BC×AC×cosC，即13＝9＋AC2－2×3AC×－12，∴AC2＋3AC－4＝0，∴AC＝1或AC＝－4(舍去)．2．C由已知得b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，又∵0Aπ，∴A＝2π3.3．A∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2aB.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝cos60°＝12，∴4－2ab＝ab，∴ab＝43.4．D∵(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，∴a2＋c2－b22actanB＝32，即cosBtanB＝32，∴sinB＝32，∴B＝π3或2π3.5．B由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝12＋(42)2－2×1×42×22＝25.∴b＝5.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－35，sinC＝1－cos2C＝45.6.5π6解析：由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝1＋3－72×1×3＝－32，又0Bπ，∴B＝5π6.7.23解析：由题意得a＋b＝5，ab＝2.∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∴25＝a2＋b2＋4，即a2＋b2＝21.∴c2＝a2＋b2－2abcos120°＝21－2×2×－12＝23，∴c＝23.8．4解析：∵3sinA＝2sinB，∴由正弦定理得3a＝2B.∵a＝2，∴b＝3.由余弦定理cosC＝a2＋b2－c22ab，得－14＝22＋32－c22×2×3，即c2＝16.又c0，∴c＝4.9．解：(1)由余弦定理及题设得cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22，又∵0Bπ，∴B＝π4.(2)由(1)得A＋C＝3π4，∴2cosA＋cosC＝2cosA＋cos3π4－A＝2cosA－22cosA＋22sinA＝22cosA＋22sinA＝cosA－π4.∵0A3π4，∴当A＝π4时，2cosA＋cosC取最大值1.10．解：(1)由已知得sin2A－sin2B＝2sinAsinC－sin2C，由正弦定理得a2－b2＝2ac－c2，即a2＋c2－b2＝2ac.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22，又0Bπ，∴B＝π4.(2)∵B＝π4，sinA＝3522，∴AB，∴A为锐角．∴cosA＝45.∴cosC＝cos3π4－A＝cos3π4cosA＋sin3π4sinA＝－22×45＋22×35＝－210.