电工电子技术 第2章 正弦稳态交流电路

第2章正弦稳态交流电路2.1正弦稳态交流电路的基本概念2.2正弦量的相量表示2.3单一参数正弦交流电路的分析2.4复阻抗与复导纳2.5正弦交流电路的功率2.6功率因数的提高2.7谐振电路本章内容提要重点：（1）正弦量的三要素；（2）正弦量的相量表示方法及相量图；（3）R、L、C各元件VCR的相量形式；（4）正弦电路的相量分析法；（5）正弦电路的功率及功率因数的提高；（6）对称三相电源及对称三相电路的计算。难点：（1）几个同频率正弦电压、电流的合成只满足相量形式合成、瞬时值（解析式）合成，而不满足有效值合成；（2）谐振电路的谐振条件及谐振电路的谐振特征。2.1正弦稳态交流电路的基本概念3.1.1正弦量的瞬时值一、正弦量的瞬时值及表示与直流电不同，正弦交流电的大小、方向随时间不断变化，即一个周期内，正弦量在不同瞬间具有不同的值，将此称为正弦量的瞬时值，一般用小写字母如i（）、u（）或i、u来表示时刻正弦电流、电压的瞬时值。ktktkt二、正弦量的解析式及波形表示正弦量的瞬时值随时间变化规律的数学式叫做正弦量的瞬时值表达式，也叫解析式，用i（t），u（t）或i、u表示。表示正弦量的瞬时值随时间变化规律的图像叫正弦量的波形。图2-1所示为一个正弦电压的波形。正弦电压u（t）的解析式可写为u（t）=Umsin（ωt+u）（2-1）同样，正弦电流i（t）的解析式为i（t）=Imsin（ωt+i）（2-2）【注意】：同一交流量，如果参考方向选择相反，那么瞬时值和解析式都相差一个负号，波形相对横轴（时间轴）相反。因此画交流量的波形和确定解析式时，必须先选定参考方向。2.1.2正弦量的三要素一个正弦量是由振幅、角频率和初相来确定的，称为正弦量的三要素。它们分别反映了正弦量的大小、变化的快慢及初始值三方面的特征。1、振幅Um（或Im）正弦量瞬时值中的最大值叫振幅，也叫峰值，振幅用来反映正弦量的幅度大小。有时提及的峰-峰值是指电压正负变化的最大范围，即等于2Um。必须注意，振幅总是取绝对值，即正值。2、角频率ω角频率ω是正弦量在每秒钟内变化的电角度，单位是弧度/秒（rad/s）。正弦量每变化一个周期T的电角度相当于2π电弧度，因此角频率ω与周期T及频率f的关系如下：ω==2πf(2-3)Tπ23、相位和初相(1)相位在正弦量的解析式（2-1）、（2-2）中的（ωt+）是随时间变化的电角度，它决定了正弦量每一瞬间的状态，称为正弦量的相位角或相位，单位是弧度（rad）或度（o）。(2)初相初相是正弦量在t=0时刻的相位，用表示，我们规定||≤π。初相反映了正弦量在t=0时的状态。需要注意的是，初相的大小和正负与计时起点（即t=0时刻）的选择有关，选择不同，初相则不同，正弦量的初始值也随之不同。（3）在波形图中初相的画法图2-2给出了几种不同计时起点的正弦电流的波形。由波形可以看出在一个周期内正弦量的瞬时值两次为零。现规定：靠近计时起点最近的，并且由负值向正值变化所经过的那个零值叫做正弦量的零值，简称正弦零值。正弦量初相的绝对值就是正弦零值到计时起点（坐标原点）之间的电角度。初相的正负这样判断：看正弦零值与计时起点的位置，若正弦零值在计时起点之左，则初相为正，如图2-2（a）所示；若在右边，则为负值，如图2-2（b）所示；若正弦零值与计时起点重合，则初相为零，如图2-2（c）所示。【例2-1】图2-3给出一正弦电压的波形，试根据所给条件确定该正弦电压的三要素，并写出其解析式。解:由波形图可知：电流振幅Im=20A周期T=(25–5)×2=40ms=0.04srad/sπ5004.0π2π2Tw假定此电流的解析式为i（t）=20sin（50πt+i）A由图可知正弦电流在t=5ms时，i=0，即20sin（50π×0.05+i）=0因此50π×0.05+i=0i=此正弦电流的解析式为i（t）=20sin（50πt）A442.1.3相位差一、相位差的定义两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差，用表示。同样规定||≤π。现有两个同频率的正弦电流i1（t）=I1msin（ωt+1）i2（t）=I2msin（ωt+2）它们的相位差为=（ωt+1）-（ωt+2）=1-2（2-4）二、相位差的应用通常用相位差的量值来反映两同频率正弦量在时间上的“超前”和“滞后”关系。若=1-2＞0，表明i1（t）超前i2（t），超前的角度为；若=1-2＜0，表明i1（t）滞后i2（t），滞后的角度为||。图3.4（a）、（b）分别表示电流i1（t）超前i2（t）和i1（t）滞后i2（t）的情况。【注意】：同频率正弦量的相位差有3种特殊的情况。（1）=1-2=0，称电流i1（t）与i2（t）同相；（2）=1-2=±π/2，称电流i1（t）与i2（t）正交；（3）=1-2=±π，称电流i1（t）与i2（t）反相。【例2-2】已知正弦电压、电流的解析式为u（t）=311sin（70t-180o）Vi1（t）=5sin（70t-45o）Ai2（t）=10sin（70t+60o）A试求电压u（t）与电流i1（t）和i2（t）的相位差并确定其超前滞后关系。解：电压u（t）与电流i1（t）的相位差为=（-180o）-（-45o）=-135o＜0所以u（t）滞后i1（t）135o。电压u（t）与电流i2（t）的相位差为=-180o-60o=-240o由于规定||≤π，所以u（t）与i2（t）的相位差应为=-240o+360o=120o＞0，因此u（t）超前i2（t）120o。2.1.4正弦量的有效值一、有效值的定义正弦量的有效值是根据它的热效应确定的。以正弦电压u（t）为例，它加在电阻R两端，如果在一个周期T内产生的热量与一个直流电压U加在同一电阻上产生的热量相同，则定义该直流电压值为正弦电压u（t）的有效值。据此定义有：TRUtRtuT202d)(如果正弦电压u（t）的解析式为u（t）=Umsin（ωt+u），则其有效值U为mm02)m0270702dsin(1d)(1UUttUTttuTUTuT(2-5)同理，正弦电流i（t）=Imsin（ωt+i）的有效值I为I=0.707Im（2-6）式（2-5）和式（2-6）表明，振幅为1V的正弦电压（或振幅为1A的正弦电流），在电路中转换能量方面的实际效果与0.707V的直流电压（或0.707A的直流电流）的效果相当。2mI正弦量的有效值为其振幅值的=0.707倍。应该注意，式（2-5）和式（2-6）只适用于正弦量。非正弦周期量的有效值与最大值之间不存在这个关系，要按有效值的定义进行计算。通常习惯上用正弦量的有效值表示正弦量大小即幅度，因此有效值可代替振幅作为正弦量的一个要素。21二、有效值的用途常用的交流仪表所指示的数字均为有效值。交流电机和交流电器铭牌上标的电压或电流也都是有效值。当交流电压表测量出电网电压的读数值（有效值）为220V时，用峰值电压表测出的读数值应为Um=311V。交流电路中使用电容器、二极管或交流电器设备时，电容器的耐压、二极管的反向击穿电压、交流设备的绝缘耐压等级等，都要根据交流电压的最大值来考虑。2.2正弦量的相量表示相量表示法的引入：相量表示法，实际上采用的是复数表示形式。相量表示法的最大优点是便于进行正弦电路的计算。这是另外两种表示方法所无法比拟的。3.2.1复数的表示形式及运算规则复数与复平面上的点一一对应，此时复数可用点的横纵坐标，即复数的实部、虚部来描述；复数与复平面上带方向的线段（复矢量）也具有一一对应关系，此时复数可用该线段的长度和方向角，即复数的模和幅角来描述。如图2-5所示直角坐标系中，实轴（+1）和虚轴（+j）组成一个复平面，该复平面内，点A的坐标为（a，b），复矢量的长度、方向角分别为r、，则它们之间的关系为：OA22barabtanarca=rcosb=rsin其中a、b叫做复数的实部、虚部；r、叫做复数的模、幅角，规定幅角||≤π。1、复数的表示形式（1）代数形式A=a+jb其中j叫做虚数单位，且j2=-1，。（2）三角函数形式A=rcos+jrsin（3）指数形式A=（4）极坐标形式A=jj1jrer2、复数的运算规则（1）复数的加减法复数相加或相减时，一般采用代数形式，实部、虚部分别相加减。即A±B=（a1±a2）+（b1±b2）复数相加或相减后，与复数相对应的矢量亦相加或相减。在复平面上进行加减时，其矢量满足“平行四边形”或“三角形”法则。（2）复数的乘除法复数相乘或相除时，以指数形式和极坐标形式进行较为方便。两复数相乘时，模相乘，幅角相加；复数相除时，模相除，幅角相减。以极坐标形式为例：21212211rrrrAB21212211rrrrBA2.2.2正弦量的相量表示1、正弦量的相量表示形式uuUUwtUtu)sin(2)(iiIIwtIti)sin(2)(【注意】：（1）正弦量的相量形式一般采用的是复数的极坐标表示，正弦量与其相量形式是“相互对应”关系（即符号“”的含义），不是相等关系。（2）若已知一个正弦量的解析式，可以由有效值及初相角两个要素写出其相量形式，这时角频率w是一个已知的要素，但w不直接出现在相量表达式中。这正是我们所需要的，因为本章讨论的是正弦稳态电路，稳态电路中所有电压电流都是同频率的正弦量。既然频率都相同，那么需要关心的就只是不同正弦量的幅值和相位，相量表示法中正是体现了这两个要素。（3）后面关于正弦电路的分析都是采用的相量分析法。所谓相量分析法，就是把电路中的电压、电流先表示成相量形式，然后用相量形式进行运算的方法。由前面分析可知，相量分析法实际上利用了复数的四则运算。2、相量图和复数一样，正弦量的相量也可以用复平面上一条带方向的线段（复矢量）来表示。我们把画在同一复平面上表示正弦量相量的图称为相量图。只有同频率的正弦量，其相量图才能画在同一复平面上。在相量图上，能够非常直观地表示出各相量对应的正弦量的大小及相互之间的相位关系。为使图面清晰，有时画相量图时，可以不画出复平面的坐标轴，但相位的幅角应以逆时针方向的角度为正，顺时针方向的角度为负。【例2-3】写出下列各正弦量的相量形式，并画出相量图。u1（t）=10sin（100πt+60o）Vu2（t）=-6sin（100πt+135o）Vu3（t）=5cos（100πt+60o）V解：7.07V因为u2（t）=-6sin（100πt+135o）=6sin（100πt+135o–180o）=6sin（100πt-45o）Vu3（t）=5cos（100πt+60o）=5sin（100πt+60o+90o）=5sin（100πt+150o）V所以其相量图如图2-6所示。602101UV452444526o2UV15053312025o3U2.3单一参数正弦交流电路的分析2.3.1纯电阻电路1、电阻元件上电压与电流的关系正弦电路中，元件上电压与电流关系包括三个方面：频率关系，大小关系（通常指有效值关系）和相位关系。图2-7（a）所示为一纯电阻电路，选取电阻元件的电压、电流为关联方向，根据欧姆定律有u（t）=Ri（t）假设流过电阻R的电流为i（t）=则电压的解析式为u（t）=Ri（t）==)sin(2iwtI)sin(2iwtRI)sin(2uwtU由上式可以看出，电阻元件上电压、电流为同频率的正弦量，同时，u、i之间存在如下关系：（1）电压与电流间有效值关系：U=RI。（2）电压与电流的相位关系：（电压电流同相）。2、电阻元件上电压与电流的相量关系由以上关系可以推出电阻元件电压与电流的相量关系式为上式又叫相量形式的欧姆定律。图2-7（b）、（c）为电阻元件的相量模型与相量图。iuIRRIUUiu2.