中国科学大学随机过程(孙应飞)复习试题和答案

....（1）设}0),({ttX是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为tsstBtXsXE),()}()({，且是一个周期为T的函数，即0),()(BTB，求方差函数)]()([TtXtXD。解：由定义，有：0)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([TBBBTtXtXEBBTtEXTtXtEXtXETtXDtXDTtXtXD（2）试证明：如果}0),({ttX是一独立增量过程，且0)0(X，那么它必是一个马尔可夫过程。证明：我们要证明：nttt210，有})()({})(,,)(,)()({11112211nnnnnnnxtXxtXPxtXxtXxtXxtXP形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxtXxtXxtXxtXPxtXxtXxtXxtXxtXPxtXxtXxtXPxtXxtXxtXxtXPxtXxtXxtXxtXP因此，我们只要能证明在已知11)(nnxtX条件下，)(ntX与2,,2,1,)(njtXj相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1njtttannj时，增量)0()(XtXj与)()(1nntXtX相互独立，由于在条件11)(nnxtX和0)0(X下，即有)(jtX与1)(nnxtX相互独立。由此可知，在11)(nnxtX条件下，)(ntX与2,,2,1,)(njtXj相互独立，结果成立。（3）设随机过程}0,{tWt为零初值（00W）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个0t，),(~2tNWt，问过程}0,{tWt是否为正态过程，为什么？解：任取nttt210，则有：....nk][11由平稳增量和独立增量性，可知))(,0(~121iittttNWWii并且独立因此),,,(1121nnttttt是联合正态分布的，由1121211110011001nnntttttttt可知是正态过程。（4）设}{tB为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。解：标准布朗运动的相关函数为：},min{),(2tstsRB如果标准布朗运动是均方可微的，则),(/ttRB存在，但是：20/0/),(),(lim),(0),(),(lim),(tttRtttRttRtttRtttRttRBBtBBBtB故),(/ttRB不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。（5）设tN，0t是零初值、强度0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，0,0tdsNYtst是否存在，为什么？解：泊松过程的转移率矩阵为：000000Q其相关函数为：sttstsRN2},min{),(，由于在t，),(ttRN连续，故均方积分存在。（6）在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：....5.05.025.075.011100100ppppP试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为)3/1,3/2(。（7）设齐次马氏链,4,3,2,1,0,SnXn一步转移概率矩阵如下：002/12/1002/12/12/12/1002/12/100P（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；（b）求n步转移概率矩阵；（c）试问此马氏链是平稳序列吗？为什么？解：（a）略（b）偶数奇数nPnPPnPn2)(（c）此链不具遍历性（8）设0,)1()()(tXtYtN，其中}0);({ttN为强度为0的Poission过程，随机变量X与此Poission过程独立，且有如下分布：0,2/1}0{,4/1}{}{aXPaXPaXP问：随机过程0),(ttY是否为平稳过程？请说明理由。由于：0)}({tYE1222)(220)(12201212)()(2)()(2)()()(22)()(2)()(22122!)]([)1(2})()({)()()1(2)1(2)1(2)1()1(),(121212121212121tteaeaenttantNtNPntNtNEaEaEaEXEXEttRttnttnnntNtNtNtNtNtNtNtNtNtNtNY故)}({tY是平稳过程。（9）设0,2tYtXXt，其中X与Y独立，都服从),0(2N（a）此过程是否是正态过程？说明理由。（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。....证明：（a）任取ntttNn210,，则有：YXtttYtXYtXYtXXXXnntttn212121222212121由于X与Y独立，且都服从),0(2N，因此可得YX服从正态分布，由上式可知随机向量ntttXXX21服从正态（高斯）分布，所以过程0,2tYtXXt是正态（高斯）过程。（b）由：0}{2}{}{YtEXEXEt221222121222121221214}{4}{}{)(2}{}{4}{)(2}{]}2][2{[}{),(21ttYEttYEXEttXEYEttXYEttXEYtXYtXEXXEttRttX由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。（10）设tN，0t是零初值、强度1的泊松过程。（a）求它的概率转移函数}{),,,(iNjNPjitspst；（b）令0,ttNXtt，说明10dtXYt存在，并求它的二阶矩。解：（a）)()!()]([}{),,,(stijsteijstiNjNPjitsp（b）先求相关函数：)21(},min{)})({(),(2stststsNtNEstRstX对任意的t，在),(tt处),(ttRX连续，故tX均方连续，因此均方可积，10dtXYt存在。1010101010102102),(}{dtdsstRdtdsXXEdsXdtXEdtXEYEXststt将),(stRX代入计算积分即可。由1，得：},min{)21(},min{)})({(),(2ststststsNtNEstRstX....31},min{),(}{10100110101010101010102102dssdtdstdtdtdsstdtdsstRdtdsXXEdsXdtXEdtXEYEttXststt（11）设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以nY表示第n次取出球后的累计积分，,1,0n（a）nY，,1,0n是否齐次马氏链？说明理由。（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率ijp和两步转移概率)2(ijp。（c）令}0,0;min{0nYnn，求}5{0P。解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：},2,1,0,1,2,{S。（b）其他,01,3.0,4.01,3.0}{1ijijijiYjYPpnnij其他,02,3.01,4.03.02,3.024.01,4.03.022,3.0}{)2(22222ijijijijijiYYPpnnij（c）即求首达概率，注意画状态转移图。03096.0]4.03.04.03.03[2}5{3240P（12）考察两个谐波随机信号)(tX和)(tY，其中：)cos()(),cos()(tBtYtAtXcc式中A和c为正的常数；是,内均匀分布的随机变量，B是标准正态分布的随机变量。....（a）求)(tX的均值、方差和相关函数；（b）若与B独立，求)(tX与)(tY的互相关函数。解：（a）0)}({tXE2122121cos2)}()({),(ttAtXtXEttRXX，2)}({2AtXD（b）0)}()({),(2121tYtXEttRXY（13）令谐波随机信号：),cos()(tAtXc式中c为固定的实数；是2,0内均匀分布的随机变量，考察两种情况：（a）幅值A为一固定的正实数；（b）幅值A为一与独立，分布密度函数为0,)2/(222aeaa的随机变量；试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？（a）如12题（b）略（14）设}0);({ttN是一强度为的Poission过程，记tdtNdtX)()(，试求随机过程)(tX的均值和相关函数。解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得：//)()()(ttmtmXX)(}),min{(),(),(2222sttsststststRstRXX（15）研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。（a）BAttX)(，其中BA,是相互独立的二阶矩随机变量，均值为ba,，方差为2221,；（b）CBtAttX2)(，其中CBA,,是相互独立的二阶矩随机变量，均值为cba,,，方差为232221,,。略....（16）求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。（a）0,1)(tttWtX，其中)(tW是参数为1的Wienner过程。（b）0),()(2ttWtX,其中)(tW是参数为2的Wienner过程。解：（a）0)}1({)}1({)(tWtEttWEtmX},min{}1,1min{)}1()1({)}1()1({),(2tstssttWsWstEttWssWEtsRXtttRX2),(连续，故均方连续，均方可积。（b）ttEWtDWtWEtmX222)]([)()}({)(2443)(),(sststsR均方连续，均方可积。（17）讨论Wienner过程和Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。解：略。（18）设有平稳随机过程)(tX，它的相关函数为222)(eR