两条直线的位置关系复习课件

第二节两条直线的位置关系1.两条直线的平行、垂直与其斜率大小间的关系（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2，则有l1∥l2⇔_____；②当直线l1,l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为_____.k1=k2平行（2）两条直线垂直①如果两条直线l1,l2的斜率存在，设为k1,k2，则l1⊥l2⇔_______；②如果l1,l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为_____.k1k2=-1垂直2.两条直线的交点唯一解无解有无数组解3.三种距离点A（x1,y1）,B(x2,y2)之间的距离|AB|=__________________点P(x0，y0)到直l:Ax+By+C=0的距离d=_________________两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=_____________222121xxyy0022AxByCAB1222CCAB判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.（1）当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1.()（3）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.()（4）点P（x0,y0）到直线y=kx+b的距离为()02|kxb|.1k（5）直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()（6）若点A，B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于且线段AB的中点在直线l上.()1k，【解析】（1）错误.当k1=k2时，l1与l2可能重合.（2）错误.如果两条直线l1,l2中的一条与x轴平行（或重合），另一条与x轴垂直（也即与y轴平行或重合），即两条直线中一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直.（3）错误，当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合.（4）错误，应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即本问题的距离为（5）正确，因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离.（6）正确，因为线段AB被直线l垂直平分.答案：(1)×(2)×（3）×（4）×（5）√（6）√002kxyb.1k1.已知点(a,2)（a＞0）到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a等于()【解析】选C.由且a＞0，得A2B22C21D21（）（）（）（）a2312a21.2.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点，则点（m,n）可能是()（A）（1，-3）（B）（3，-1）（C）（-3，1）（D）（-1，3）【解析】选A.∴m+2n+5=0，∴点（m,n）可能是（1，-3）.y2x,x1,xy3,y2,由得3.点（a,b）关于直线x+y+1=0的对称点是()（A）（-a-1,-b-1）（B）(-b-1,-a-1)（C）(-a,-b)（D）(-b,-a)【解析】选B.设对称点为（x′,y′），则解得：x′=-b-1，y′=-a-1.yb11,xaxayb1022，4.已知A(a,-5)，B(0,10)，|AB|=17，则a=____.【解析】依题设及两点间的距离公式得：解得a=±8.答案：±822a051017,5.直线l的倾斜角为30°，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1=____；若直线l2⊥l,则直线l2的斜率k2=____.【解析】由直线斜率的定义知，直线l的斜率∵l1∥l，∴k1=k=∵l2⊥l,∴k2·k=-1,∴答案：3ktan30.33.321k3.k3336.平行线l1：3x-2y-5=0与l2:之间的距离为____.【解析】直线l2可化为：由平行线间的距离公式得：答案：33yx2433x2y02，2235132d.232（）132考向1两条直线平行、垂直的关系【典例1】（1）（2012·浙江高考）设a∈R,则“a=1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（2）（2013·宝鸡模拟）已知直线l1:(k-3)x+(5-k)y+1=0与直线l2:2(k-3)x-2y+3=0垂直，则k的值是()(A)1或3(B)1或5(C)1或4(D)1或2（3）已知A（-4，3），B（2，5），C（6，3），D（-3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状.【思路点拨】（1）先求出两条直线平行的条件，再判断a=1能否保证l1∥l2.（2）根据两直线垂直的条件构建关于k的方程求解.(3)分别求出四边形ABCD四条边所在直线的斜率，再分别验证对边是否平行，邻边是否垂直，进行判断.【规范解答】（1）选A.若两直线平行即l1∥l2，则a(a+1)-2×1=0,解得a=-2或a=1,而当a=1时，l1∥l2,所以“a=1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件.（2）选C.因为直线(k-3)x+(5-k)y+1=0和直线2(k-3)x-2y+3=0垂直，所以有2（k-3）2-2(5-k)=0，即k2-5k+4=0，解得k=1或4.（3）A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图：由斜率公式可得∴kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合，ABCDADBC531k,243031k,36303k3,34351k622，∴AB∥CD.由kAD≠kBC,∴AD与BC不平行.又∵kAB·kAD=(-3)=-1,∴AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.13【拓展提升】两直线平行、垂直的两大类型及判断方法（1）已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1.（2）已知两直线的一般方程可利用直线方程求出斜率，然后判断平行或垂直，或利用以下方法求解：直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)l2:A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)l1与l2垂直的充要条件A1A2+B1B2=0直线方程l1:A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)l2:A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)l1与l2平行的充分条件l1与l2相交的充分条件l1与l2重合的充分条件111222222ABC(ABC0)ABC112222AB(AB0)AB111222222ABC(ABC0)ABC【变式训练】（1）若直线l过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线l的方程为____________.【解析】方法一：直线2x-3y+4=0的斜率为设所求直线的斜率为k′，∵所求直线与直线2x-3y+4=0垂直，∴k·k′=-1,∴∴所求直线方程为即3x+2y-1=0.2k,33k2，3y2x1,2方法二：由已知,设所求直线l的方程为：3x+2y+C=0.又l过点(-1,2),∴3×(-1)+2×2+C=0,得:C=-1,所以所求直线方程为3x+2y-1=0.答案：3x+2y-1=0（2）已知△ABC的三个顶点坐标为A（2，4），B（1，-2），C（-2，3），则BC边上的高AD所在直线的斜率为_____.【解析】又BC⊥AD,答案：BC325k,213ADBC13k.k535考向2直线的交点【典例2】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.【思路点拨】可先求出两条直线的交点坐标，再用点斜式求解；也可用与直线垂直的直线系方程或过两条直线交点的直线系方程求解.【规范解答】解方程组得l1，l2的交点坐标为（-1，2），方法一：由l3的斜率求出l的斜率为于是由直线的点斜式方程求出l：即5x+3y-1=0.3x2y105x2y10，，3553，5y2x13，方法二：由于l⊥l3，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过l1，l2的交点（-1，2），故5×(-1)+3×2+C=0，由此求出C=-1，故l的方程为5x+3y-1=0.方法三：由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x+2y-1+λ(5x+2y+1)=0中的一条，将其整理，得（3+5λ）x+（2+2λ）y+(-1+λ)=0.其斜率解得代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.355223，15，【拓展提升】1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点.2.常见的三大直线系方程（1）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0（m∈R且m≠C）.（2）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0（m∈R）.（3）过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0（λ∈R），但不包括l2.【变式训练】（1）（2013·黄山模拟）已知直线方程为(2a+1)x+(3a-2)y-18a+5=0，求证：无论a为何实数值，直线必过定点，并求出该定点的坐标.【解析】原方程可化为x-2y+5+a(2x+3y-18)=0，它表示过直线x-2y+5=0与直线2x+3y-18=0交点的直线系方程，无论a取何值它都过两直线的交点，所以直线过定点（3，4）.x2y50,x3,2x3y180,y4.由解得（2）当m为何值时，三条直线l1：4x+y-3=0，l2：x+y=0,l3：2x-3my-4=0能围成一个三角形?【解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点.24123mm0mm.26313m，当时，有解得：且，又因为l1：4x+y-3=0与l2：x+y=0的交点为(1,-1)，所以2+3m-4≠0，解得当m=0时，l3:2x-4=0,l1:4x+y-3=0,l2:x+y=0,l1与l3的交点为(2,-5)，l1与l2的交点为(1,-1),l2与l3的交点为(2,-2)，能构成三角形，符合题意.综上可知：2m.3122m,mm.633且且考向3三种距离公式的应用【典例3】（1）（2013·南昌模拟）在△OAB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B(sinθ，1)，则△OAB的面积的取值范围是()13A01B221313CD4244（）（，］（）［，］（）［，］（）［，］（2）圆C：x2+y2=4上的点到直线l:3x+4y-20=0距离的最大值为____.（3）已知直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0互相平行，且l1,l2之间的距离为求直线l1的方程.5，【思路点拨】（1）利用两点间距离公式求出|OA|，再利用点到直线的距离公式求出点B到直线OA的距离d.则将S△OAB表示成θ的函数再求范围.（2）利用几何性质，只需先求圆心到直线l的距离，再加上半径即得.（3）先由l1∥l2,求出m的值，再根据l1,l2之间的距离为求出n的值，即得l1的方程.5，【规范解答】（1）选D.由两点间距离公式得又直线OA的斜率∴直线OA的方程为y=xcosθ，即xcosθ-y=0，∴点B（sinθ，1）到直线OA的距离2OAcos1，OAcos0kcos10，2211sin2sincos12dcos11cos，2OAB2OAB11sin2112S|OA|dcos1221cos1113sin2,RS.24