《勾股定理》核心专题精选

6．勤学早第17章《勾股定理》核心专题一点通A——核心知识点核心知识点1：勾股定理及其认识1.如图1所示的是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（C）A.13B.26C.47D.942.如图2，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为16，则BE的长度是（C）A.2B.3C.4D.83.如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，若S1＋S2＝2，则AB的长度是.44.如图4，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积之和为.EDCBAEDCBAS2S1CBAHFECBA图1图2图3图492核心知识点2：勾股定理的证明及应用5.（1）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；（2）利用图2中的直角梯形证明：2abc.abcabcEDCBAcba图1图2(1)∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC，又∵∠EDC＋∠DEC＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°，∵S梯形ABCD＝S△ABE＋S△DEC＋S△AED，，∴12(a＋b)(a＋b)＝12ab＋12ab＋c2，整理得：a＋b＝c；(2)∵BC＝a＋b,AD＝2c，BC＜AD，a＋b＜2c，∴2abc6.等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且CA＝CB.（1）如图1，若△ECD也是等腰直角三角形，且CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，求证：AE2＋AD2＝2AC2；（2）如图2，点M是△ACB外一点，CM∥AB，且BM＝BA，直接写出CMAB的值是.EDCBAMCBA图1图2(1)略；(2)312.核心知识点3：勾股定理的应用7.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米50元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？CBAAC＝22ABBC＝12m，则地毯总长为17m。则地毯的总面积为34m，铺完这个楼道至少需要1700元。8.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米，早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲，乙二人相距多远？还能保持联系吗？yxOBA甲从上午8:00到上午10:00一共走了2个小时，走了12千米，即OA＝12.乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时，走了5千米，即OB＝5.在Rt△OAB中，AB＝13，因此上午10:00时，甲、乙两人相距13千米，15＞13，甲，乙两人还能保持联系。9.如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，双往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5m处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏，求登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离.0.54.521.5DBACABD1.524.50.5过点B作BC⊥AD于C，则AC＝4－2＋0.5＝2.5km，BC＝6km，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB＝6.5km，登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5km。10.如图，A，B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最低总费用是多少？LDCBANMGABCDL延长BD至G使DG＝BD，连接GA交CD于M，M为所求位置，作AN⊥BD于N，由勾股定理可知GA＝50千米，费用是150(万).11.如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域，（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？东北EFBAMDABFE北东(1)会受台风的影响，理由如下：过A作AD⊥BF于D，则在△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝160＜200，A城受到这次台风影响；(2)设台风中心到达M点时，A城受影响，DM＝120，240÷40＝6(h)，A城受到台风影响的时间是6小时。核心知识点4：折叠问题与勾股定理（1）折叠后得到直角三角形→勾股定理12.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（D）A.252cmB.152cmC.254cmD.154cm13.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为.714.如图，长方形ABCD中，CD＝6，BC＝8，E为CD边上一点，将长方形沿直线BE折叠，使点C落在线段BD上C′处，则DE的长是.103EDCBAABCDEABCDEC'第12题图第13题图第14题图（2）折叠后得到三垂图形→勾股定理15.如图，长方形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC等于（B）A.1B.2C.3D.416.如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为.FEDCBAFEDCOAyxGFEDCBA第15题图第16题图第17题图(10,3)（3）折叠后得到全等形→勾股定理17.如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝46，则FD的长是.4（4）折叠后得到等腰三角形→勾股定理18.如图，在长方形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，求线段DE的长.C'EDCBA证△BED是等腰三角形，DE＝154.19.如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上.（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长；（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，①求证：EF＝EG；②求AF的长；GFEDCBAHGFEDCBA图1图2(1)纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，BF＝EF，AB＝8，EF＝8－AF，在Rt△AEF中，AE2＋AF2＝EF2，即42＋AF2＝(8－AF)2，解得AF＝3；(2)①纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∠BGF＝∠EGF，长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∠BGF＝∠EFG，∠EGF＝∠EFG，EF＝EG；②纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，EF＝EG＝10，在Rt△EFH中，FH＝22EFHE＝6，AF＝FH＝6.核心知识点5：平利用勾股定理解决立体图形的最短路径问题20.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ＝2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路程.QPA如图，PB＝AB＝6，AQ＝2，BQ＝8，PQ＝10.答：蚂蚁爬行的最短路程是10.21.如图，有一圆柱形油罐，要从A点环绕油罐建梯子到B点，正好B点在A点的正上方，已知油罐的周长为12m，高AB为5m，所建梯子最短需多少米？BA如图，AC＝12m，BC＝5m，AB＝13m，答：梯子最短需要13m.22.如图，一只蚂蚁从长，宽都是3，高是8的长方体纸箱的点A沿纸箱外表爬到点B，那么它爬行的最短路线的长是多少？BA如图(1)AB＝223+11＝130；如图(2)，AB＝10，∵130＞10，∴最短路径为10，答：它爬行的最短路线的长是10.23.如图是一段楼梯，已知AC＝5m，CD＝7m，楼梯宽BD＝5m，一只蚂蚁要从A点爬到B点，求蚂蚁爬行的最短路程.DCBA如图，AC＝5m，CD＝7m，BD＝5m，AB＝13m，答：蚂蚁爬行的最短路程是13m。核心知识点6：勾股定理逆定理24.（2017瑞金）小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是.90°25.（2017句容）如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，若BD2＋CE2＝DE2，则∠A的度数为.EDCBA135°26.（2017金寨）如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在格点上，且AB＝26，AD＝17.（1）请在图中补齐四边形ABCD，直接写出其面积是；（2）判断∠BCD是直角吗？请说明理由；（3）直接写出点C到BD的距离为.DCB(1)画图略，S四边形ABCD＝14.5；(2)∠BCD是直角，证明略；(3)2.27.如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D是小正方形的顶点，AB，CD交于点O，求∠AOC的度数.ODCBA∠AOC＝45°，提示：平移CD使得B，D重合。28.某小区计划在花坛内一块如图所示的空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮售价为60元/m2，则购买这种草皮至少需要多少钱？13m4m3m12mDCBA在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝25，AC＝5，AC2＋CD2＝AD2，△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°，四边形ABCD的面积＝S△ABC＋S△ADC＝36,36×60＝2160，购买这种草皮至少需要2160元。