泰勒公式及其在解题中的应用

..Word资料.本科生毕业设计（论文）（2014届）设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用作者周立泉分院理工分院用数学1001班指导教师（职称）徐华（讲师）专业班级数学与应用数学）论文字数8000论文完成时间2014年4月3日杭州师范大学钱江学院教学部制..Word资料.泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用．关键词：泰勒公式;数学分析;导数TaylorFormulaandItsApplicationinSolvingProblemMathematicsandAppliedMathematicsclass1001ZhouLiQuanInstructor:XuHuaAbstract：Taylor'sformulaisanimportantequationofmathematicalanalysis,itisthebasicideaistousepolynomialapproximationtoaknownfunction,andthepolynomialcoefficientsgivenbythederivativesofthefunctiondetermined.ThispaperdescribesthemethodtoprovetheTaylorformula,summarizedininequalities,findthelimit,theapproximatevalueandtheotherapplications.Keyword:Taylor'sformula;Mathematicalanalysis;derivative...Word资料.目录1引言....................................................................12泰勒公式................................................................13泰勒公式在解题中的应用..................................................23.1利用泰勒公式求近似值..................................................23.2利用泰勒公式求极限....................................................43.3泰勒公式在判断级数和广义积分敛散性的应用..............................73.3.1判断级数的敛散性................................................73.3.2判断广义积分的敛散性............................................93.4利用泰勒公式证明等式与不等式.........................................104结论及展望.............................................................10参考文献................................................................11致谢....................................................................12..Word资料.泰勒公式及其在解题中应用数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华1引言泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能在数学研究方面也发挥了极大的作用．关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求渐近线、界的估计和近似值的计算等等．事实上，由于许多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题又要借助于泰勒公式．因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要的应用工具，我们必须掌握它，以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多实际的数学问题．虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还有很多方面学者很少提及，因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空间．2泰勒公式泰勒公式按不同的余项可以分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同，但性质各异．定性的余项为佩亚诺余项))((0nxxo，仅表示余项是nxx)(0，即当)(0xx时高阶的无穷小．定量的余项是拉格朗日型余项10)1()()!1()(nnxxnf（也可以写成)(00xxx10），定量的余项一般用于对逼近误差进行具体的计算或者估计．定理1(泰勒定理)：设)(xf在0x处有n阶导数，则存在0x的一个领域，对于领域中的任一点x，成立)()(!)()(!2)())(()()(00)(200''00'0xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn（1）其中余项)(xrn满足)1(0)1()()!1()()(nnnxxnfxr，在x与0x之间．上述公式（1）称为)(xf在0xx处的带拉格朗日型余项的泰勒公式．余项10)1()()!1()()(nnnxxnfxr（在x与0x之间）..Word资料.称为拉格朗日余项．若不需要余项的精确表达式时，余项)(xrn也可也成))(()(0nnxxoxr．此时，上述公式（1）则称为)(xf在0xx处的带有佩亚诺余项的泰勒公式．它的前1n项组成的多项式：''()'20000000()()()()()()()()2!!nnnfxfxpxfxfxxxxxxxn称为)(xf的在0xx处的n次泰勒多项式．当00x时，上式记为nnxnfxfxfxffxf!)0(!3)0(!2)0()0()0()()(3'''2'''该式称为麦克劳林公式，是泰勒公式的特殊形式带拉格朗日余项的泰勒公式对函数)(xf的展开要求比较高，形式也相对复杂，但因为（2）对)(0xUx均能成立（当x不同时，的取值可能不同），因此这反映出函数)(xf在邻域)(0xU内的全局性．带佩亚诺余项的泰勒公式对函数xf的展开要求较低，它只要求xf在点0x处n阶可导，展开形式也较为简单．（1）式说明当0xx时用右端的泰勒多项式)(xpn代替)(xf所产生的误差是nxx)(0的高阶无穷小，这反映了函数)(xf在0xx时的性态，或者说反映了)(xf在点0x处的局部性态．3泰勒公式在解题中的应用泰勒公式也被称为泰勒中值定理，是高等数学课程中的一个重要内容，不仅在理论分析方面有重要作用，其应用也非常广泛．但在高等数学课程中没有深入广泛地展开讨论，本文通过几个例子也仅仅说明其中的几个方面的应用，还有很多其他方面的应用，以及二元函数的泰勒公式及其应用等许多内容可以展开进一步的讨论，从而对泰勒公式有一个全面的认识与了解．3.1利用泰勒公式求近似值由于泰勒公式是利用增量法原理进行推导而来，因而在很多近似问题中也有广泛应用．在现今社会，由于计算机和通讯技术的发展，利用计算机进行近似计算已经成为科学研究和工程计算中的一个重要环节．泰勒公式是一个多项式拟合问题，而多项式是一个简单函数，它的研究对我们来说是轻松而又方便的．但必须注意的是泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x不能远离0x，否则效果会比较差．利用泰勒公式可以对函数近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(xf麦克劳林展开得到函数的近似计算式为nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2'''..Word资料.例1求e的近似值分析因为e介于2和3之间，是个无限不循环的数，所以直接得到确定的值比较困难，在这里我们可以利用泰勒公式导出的近似计算式进行近似得到e的值．解首先令xexf，则xnexfxfxf)()()('''把0x带入，得1)0()0()0()('nfff于是得到xe的近似式!!212nxxxenx上式中令1x，有!1!31!2111ne由此可以求出e的近似值．例2求dxex102的近似值，精确到510分析因为dxex102中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表达），我们可以考虑利用泰勒公式和逐项积分的方法求dxex102的近似值．解在xe的展开式中用2x代替x得!)1(!212422nxxxennx逐项积分，得dxnxdxxdxxdxdxennx1021041021010!1!212121!1)1(51!21311nnn75600193601132912161421101311上述式子右端是一个收敛的交错级数，由其余项nR的估计式知000015.07560017R所以746836.093601132012161421101311102dxex我们不妨再看一例，..Word资料.例3计算积分dxxx10sin的近似值分析因为xxsin不是初等函数，所以不能直接用牛顿——莱布尼兹公式求值，我们考虑利用泰勒公式求其近似值．解由泰勒公式可得753!7)27sin(!5!3sinxxxxxx所以642!7)27sin(!5!31sinxxxxxx因此dxxxxxdxxx1064210)!7)27sin(!5!31(sin107537!7)27sin(5!53!3xxxxx7!7)27sin(5!513!311x由此得到9461.05!513!311sin10dxxx3.2利用泰勒公式求极限对于一般待定型的极限问题，我们采用洛必达法则来求．但是对于一些求导比较繁琐，或是要多次使用洛必达法则的情况，运用泰勒公式往往比洛必达法则更为有效．对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的,因此,对于一些较复杂的函数可以考虑根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或者有理分式的极限问题,因此满足下列情况时可以考虑用泰勒公式来求极限:（1）运用洛比达法则时,次数较多,且求导及化简过程较繁锁．（2）分子或分母中有无穷小的差,且此差不易转化为等价无穷小的替代形式．（3）所遇到的函数展开为泰勒公式不难．当确定要运用泰勒公式求极限时,关键是要确定展开的阶数．如果分母(或分子)是n阶,就将分子(或分母)展开为n阶麦克劳林公式．若分子,分母都需要展开,可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数．例4求4202coslimxexxx..Word资料.分析这是一个00待定型的极限问题，如果用洛必达法则，则分子分母都需求导4次．但若用泰勒公式计算就简单得多了．解4202coslimxexxx44224420)()2(!21)2(1)(!4!21limxxoxxxoxxx4440)(121limxxoxx121例5求)1ln(lim2xxxxx的极限分析当x时，此函数是型未定式，虽然可以通过变换把它转换成00型，再用洛必达法则求解，但计算量较大，现在我们先用泰勒公式将)11ln(