数字信号处理第二章习题解答

数字信号处理第2章习题解答2.1今对三个正弦信号1()cos(2)axtt，2()cos(6)axtt，3()cos(10)axtt进行理想采样，采样频率为8s，求这三个序列输出序列，比较其结果。画出1()axt、2()axt、3()axt的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。解：采样周期为2184T三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下：1()cos(2)cos()42anxnn2()cos(6)cos()42anxnn3()cos(10)cos()42anxnn输出序列只有一个角频率2，其中1()axn和3()axn采样序列完全相同，2()axn和1()axn、3()axn采样序列正好反相。三个正弦信号波形及采样点位置图示如下：00.511.522.533.54-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81txa1(t)00.511.522.533.54-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81txa2(t)00.511.522.533.54-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81txa3(t)三个正弦信号的频率分别为1Hz、3Hz和5Hz，而采样频率为4Hz，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。2.3给定一连续带限信号()axt其频谱当fB时，()aXf。求以下信号的最低采样频率。（1）2()axt（2）(2)axt（3）()cos(7)axtBt解：设()axt的傅里叶变换为()aXj（1）2()axt的傅里叶变换为22()[()]BaaBXjXjd因为22,22BBBB所以44BB即2()axt带限于2B，最低采样频率为4B。（2）(2)axt的傅里叶变换为1(/2)2aXj2/22BB，即44BB即(2)axt带限于2B，最低采样频率为4B。（3）771()cos(7)()2jBtjBtaaxtBtxtee根据傅里叶变换的频移性质，()cos(7)axtBt的傅里叶变换为1((7)((7)2aaXjBXjB它为一个带宽为2B的带通信号，其通带范围为5922BfB。根据带通模拟信+号的采样定理，最小采样频率为1/44(1)4.52BB。补充知识：带通模拟信号的采样定理设带通模拟信号的频带限制在Lf和Hf之间，其频谱最低频率大于Lf，最高频率小于Hf，信号带宽HLBff。此带通模拟信号所需最小抽样频率sf等于21skfBn式中，B为信号带宽；n为商(HfB)的整数部分，1,2,n；为商(HfB)的小数部分，01k。2.5一带通模拟信号如图所示，现用以下采样频率对其采样。（1）25Hz（2）50Hz（3）100Hz求采样后的频谱。解：采样后的频谱分别如下图所示：25Hz采样的频谱（注意：每一个三角形频谱都产生了混叠，以幅度的增加表示）50Hz采样的频谱（没有混叠）100Hz采样的频谱（没有混叠）2.6一带通模拟信号如图所示，求不产生混叠的最低采样频率。解：由图知，60Hf，40Lf，20B，3HfB的整数部分为3，小数部分为0，根据带通模拟信号的采样定理，最小采样频率为240BHz。04060-40-60f/HzXa(f)02550-25-50f/HzXa(f)75100-75-100-125-150-17512515017502550-25-50f/HzXa(f)75100-75-10002550-25-50f/HzXa(f)75100-75-10002550-25-50f/HzXa(f)