直线与平面垂直的判定和性质(一)

直线与平面垂直的判定和性质（一）1．下列命题中正确的是（）．A．若一条直线与平面内的一条直线垂直，则这直线与这个平面垂直B．若一条直线与平面内的两条直线垂直，则这直线与这个平面垂直C．若一直线与平面内的无数条直线垂直，则这直线与这个平面垂直D．若一直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这直线与这个平面垂直2．已知直线a、b和平面，下列推理中错误的是（）．A．babaB．baba//C．abbaD．aabab或//3．直线a在平面内的射影是一个点，那么一定有（）．A．a∥B．a⊥C．aD．a是的斜线4．给出四个命题：①过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②若一条直线与平面平行，那么直线上的所有的点到平面的距离相等；③共点O的直线a、b、c两两垂直，那么其中任何一条直线垂直于另两条直线所确定的平面；④如果一条直线垂直于平行四边形的两条边，那么这条直线垂直于这个平行四边形所在的平面．其中正确的命题的个数是（）．A．3B．2C．1D．05．判断下列命题是否正确，并说明理由：（1）a⊥，ba⊥b；（2）AB∥，AC⊥，BD⊥AC=BD；（3）a∥b，b⊥，c=a⊥c；（4）线段AB⊥于B，线段CD与相交于D，则AB≤CD；（5）线段AB、CD在平面内的射影为BA、DC，若AB=CD，则DCBA．6．平面的斜线段AB长为6cm，AB在平面内的射影长为3cm，则AB所在直线与平面所成的角等于________．7．在正方体1111DCBAABCD－中，（1）与1AA垂直的棱有________条；（2）与1AA垂直的面对角线有________条；（3）与1AB垂直的棱有________条；（4）与1BD垂直的面对角线有________条．8．直线a、b与平面所成的角都等于60°，a、b的位置关系如何?画图说明．9．已知等边三角形ABC的边长为a，D是BC边中点，PA⊥AB，PA⊥AC，且PA=a（如图9-27）．问PD是否与BC垂直?说明理由，并求点P到BC的距离．图9-2710．O是平行四边形ABCD两对角线的交点，P平面ABCD，且PA=PC，PB=PD．求证：PO⊥平面ABCD．参考答案1．D．2．C．3．B．4．A．其中①、②、③正确．在③中，由于b∩c=P，∴过b、c确定一个平面，∵a⊥b，a⊥c，b，c，b∩c=P，∴a⊥．④不正确是因为平行四边形的两组对边平行，若直线垂直于平行四边形的两条对边，不能确定直线与平行四边形所在平面垂直．若直线垂直平行四边形的两条邻边，则直线垂直于平行四边形所在的平面．5．（1）正确．（2）正确．（3）正确．（4）不正确．AB、CD可能不是从一个点出发的垂线段与斜线段，长度间无确定关系．（5）不正确．理由同上．6．60°．7．（1）8条，其中相交垂直的有AB、AD、11BA、11DA四条，异面垂直的有BC、CD、11CB、11DC四条；（2）4条，与1AA垂直的平面有两个平面ABCD和平面1111DCBA，每个面上有两条对角线，即AC、BD、11CA、11DB；（3）4条．∵BC⊥平面11AABB，∴1ABBC，同理11CB、11DA、AD均与1AB垂直；（4）6条．1BD是平面ABCD的一条斜线，∵DD1⊥平面ABCD，∴BD为1BD在平面ABCD内的射影．∵BD⊥AC，∴由三垂线定理，ACBD1，即AC为平面ABCD内与1BD垂直的唯一面对角线，正方体共有六个面，每个面有一条面对角线与1BD异面垂直，所以一共有6条．8．a、b可能平行、相交、异面（图略）．9．如图9-27，∵△ABC是正三角形，D是BC中点，∴AD⊥BC，∵PA⊥AB，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC．∴AD是PD在平面ABC内的射影，∵AD⊥BC，根据三垂线定理，PD⊥BC，∴PD为P点到BC的距离．∵PA⊥平面ABC，AD平面ABC，∴PA⊥AD．在Rt△PAD中，AD是正三角形的高，∴aAD23，又∵PA=a，∴PDaaaADPA27)23(2222．10．由PA=PC，故△PAC是等腰三角形，又O是AC中点，故PO⊥AC．因此可证PO⊥BD，又AC∩BD=O，因此PO⊥平面ABCD．