武汉中学高二下学期数学总复习试题(2)

武汉中学高二下学期数学总复习试题(2)武汉中学柏任俊一、选择题：1.地球表面上从A地(北纬45°，东经120°)到B地(北纬45°，东经30°)的最短距离为（地球半径为R）（）A.RB.42RC.3RD.2R2.已知,ml是异面直线，有下面四个结论：（）⑴必存在平面过m且与l平行；⑵必存在平面过m且与l垂直；⑶必存在平面与,ml都垂直；⑷必存在平面与,ml距离都相等。A、⑴⑵B、⑴⑷C、⑴⑶D⑵⑶3.一个棱长都为a的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上,则此球的表面积为（）A.2a37B.2a2C.2a411D.2a344.从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022cbyax中的系数，则确定不同椭圆的个数为（）A．20B．18C．9D．165.使得多项式1125410881234xxxx能被5整除的最小自然数为（）A．1B．2C．3D．46.如果A、B是互斥事件，则下列结论中：①A+B是必然事件；②BA是必然事件；③A与B是互斥事件；④A与B不是互斥事件。其中正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.②④7.一袋中装有a只黑球和b只白球（*Nba、），它们的大小相同，编号不同，现在把球随机地一只一只摸出来，若第k次和第1k次（bak11）摸出的球是黑球的概率分别是kp和1kp，则（）A.1kkppB.1kkppC.1kkppD.kp和1kp的大小与球数有关8.不同的5种商品在货架上排成一排，其中甲乙两种恰好相邻排在一起，且丙丁两种不相邻的概率为（）10152025产品尺寸0.0160.04频率组距30354045A.101B.61C.51D.529.从某一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n件，测得其尺寸后，画出其频率分布直方图（见右），若尺寸在[15，45]内的频数为46，则尺寸在[20，25]内的产品个数为（）（A）5个（B）10个（C）15个（D）20个10.若函数1)2(33)(23xaaxxxf在),(内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A.21aB.21aC.1a或2aD.1a或2a二、填空题：11.给出下列4个命题：①过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条；②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；③对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行；④对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等。其中正确命题的序号有___________(请把所有正确命题的序号都填上).12.在直二面角l中，直线nm,，m与l成300角，n与l成450角，则异面直线m与n所成角的余弦值为__________________.13.如图，正四面体ABCD的棱长为1，平面过棱AB，且CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积是.14.已知数列{an}，(n∈N*)是首项为a1，公比为q的等比数列，则a1C02—a2C12+a3C22=______，a1C03—a2C13+a3C23—a4C33=___________________.由上述结果归纳概括出关于正整数n的一个结论是___________________________________.15.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.现从甲，乙两袋中各任取2个球.若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，则n=__________.16.下面是一个样本容量为的样本:7,5,8,10,10.则该样本的数学期望(即平均数)为,方差为.三、解答题：17.如图：直平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD=600，E为AB中点，二面角A1-ED-A为600.（I）求证：平面A1ED⊥平面ABB1A1；（II）求二面角A1–ED-C1的余弦值；（III）求点C1到平面A1ED的距离。BADCA1B1D1C1E18..某电路中有红灯、绿灯各一只，当开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，并且每次有且仅有一只灯亮，设第一次出现红灯和绿灯的概率相等，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是31，前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是53．求：（Ⅰ）第二次出现红灯的概率；（Ⅱ）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率．19.在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率．20.从原点出发的某质点M，按向量32)1,0(移动的概率为a，按向量)2,0(b移动的概率为31，设M可到达点（0，n）的概率为Pn.（1）求P1和P2的值；（2）求证：)(31112nnnnPPPP；（3）求Pn的表达式.21.已知函数36)2(23)(23xxaaxxf.（I）当2a时，求函数)(xf的极小值；（II）试讨论曲线)(xfy与x轴的公共点的个数。22.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器（切、焊损耗忽略不计），有人应用数学知识作了如下设计：如图（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图（b）（I）请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；（II）由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2V1.xx图（a）图（b）参考答案：CBABCDBCBD11.【答案】②④；12.【答案】46；13.【答案】21；14.【答案】a1(1—q)2；a1(1—q)3；a1C0n—a2C1n+a3C2n—a4C3n+……+(—1)nan+1Cnn=a1(1—q)n.；15.【答案】；16.【答案】8；3.6.17.解：（I）证明：连结BD，在菱形ABCD中，∠BAD=600，∴△ABD为正三角形，∵E为AB的中点，∴ED⊥AB（1分）在直六面体ABCD-A1B1C1D1中：平面ABB1A1⊥平面ABCD且交于AB，∵ED面ABCD∴ED⊥面ABB1A1（2分）∴平面A1ED⊥平面ABB1A1（3分）（II）解：由（I）知：ED⊥面ABB1A1∵A1E面ABB1A1∴A1E⊥ED又在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中：AA1⊥面ABCD，由三垂线定理的逆定理知：AE⊥ED，∴∠A1EA=600（4分）取BB1的中点F，连EF、AB1，则EF//121AB，在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中：AB1//DC1∴EF//121DC∴E、F、C1、D四点共面（5分）∵ED⊥面ABB1A1且EF面ABB1A1∴EF⊥ED∴∠A1EF为二面角A1-ED-C1的平面角（6分）在Rt△EBF中：aAEEA260cos01，aEAAA360sin011在Rt△A1AE中：aaaEF274322，在Rt△A1B1F中：aaaFA219434221（7分）∴在Rt△A1EF中：1472722419474cos2221aaaaaEFA∴二面角A1-ED-C1的余弦值为147（8分）（III）过F作FG⊥A1E交A1E于G点∵平面A1ED⊥面ABB1A1且平面A1ED∩面ABB1A1=A1E∴FG⊥平面A1ED，即：FG是点F到平面A1ED的距离（10分）在Rt△EGF中：147cosGEF∴14213sinGEF∴aaGEFEFFG4331421327sin（11分）∵EF//DC121且E、D∈面A1ED，∴点C1到平面A1ED的距离为a233（12分）18.解：由于第一次出现红灯和绿灯的概率相等，由等可能事件的概率知，第一次出现红灯和绿灯的概率均为21，由对立事件的概率可知，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是31，则接着出现绿灯的概率是32；前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是53，则接着出现绿灯的概率是52．（2分）（Ⅰ）15731215321；（7分）（Ⅱ）7534523221325321535221．（13分）19.解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．所求概率为1P＝20.4)(1×20.5＝20.3＝0.09∴乙连胜四局的概率为0.09．（2）丙连胜三局的对阵情况如下：第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．故丙三连胜的概率2P＝0.4×20.6×0.5＋（1-0.4）×20.5×0.6＝0.162.20.解：（1）9731)32(32221PP（2）M到达（0，n+2）有两种情况.)2,0(),0(.)1,0()1,0(移动按向量点移动按向量点nn)(31313211212nnnnnnnPPPPPPP（3）数列31,)(}{121为首项是以PPPPnn为公比的等比数列nnnnnnnnPPPPPPP)31(4143)31()31()31()31)((211112!21解：（I）)1)(2(36)2(33)(2xaxaxaaxxf………………2分,2a12a当ax2或1x时，0)(xf；当12xa时，0)(xf)(xf在)2,(a，（1，)内单调递增，在)1,2(a内单调递减…………4分故)(xf的极小值为2)1(af……………………………………5分（II）①若,0a则2)1(3)(xxf)(xf的图象与x轴只有一个交点。……6分②若,0a则12a，当12xax或时，0)(xf，当12xa时，0)(xf)(xf的极大值为02)1(af)(xf的极小值为0)2(af)(xf的图象与x轴有三个公共点。③若20a，则12a.当axx21或时，0)(xf，当12xa时，0)(xf)(xf的图象与x轴只有一个交点④若2a，则0)1(6)(2xxf)(xf的图象与x轴只有一个交点⑤当2a，由（I）知)(xf的极大值为043)431(4)2(2aaf综上所述，若,0a)(xf的图象与x轴只有一个公共点；若0a，)(xf的图象与x轴有三个公共点。22.解：（I）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4—2x,高为x,所以V1=(4－2x)2·x=(4x3－4x2+4x),(0x2).∴'1V=4(3x2－8x+4)，令'1V=0,得x1=32,x2=2(舍去)而'1V=12(x－32)(x－2),又当x32时,V’10,当32x2时,V’10,∴当x=32时,V1取最大值27128……………………………………6分（II）重新设计方案如下：如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图③，将图②焊成长方体容器。新焊长方体容器底面是长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2V1故第二种方案符合要求。3图①图②图③另外还可以如图④及如图⑤图④图⑤V3=2×4×32=316V1V4=38×38×65=27160V1