万有引力专题

万有引力专题万有引力定律揭示了自然界中物体间普遍存在的一种基本相互作用规律和行星运动的本质原因，并且把地上的运动和天上的运动统一起来。万有引力定律的具体应用有：发现新的天体，测天体质量，计算天体密度，研究天体的运动规律等，同时也是现代空间技术的理论基础。这一部分内容公式变化多，各种关系复杂，是高考的热点，也是学习的难点。在复习过程中，要深刻理解万有引力定律的内容和应用，重点是要弄清以下几个问题。（一）不同公式和问题中的r含义不同万有引力定律公式221rmGmF中的r指的是两个质点间的距离，在实际问题当中，只有当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，定律才适用，此时r指的是这两个物体间的距离；定律也可适用于两个质量分布均匀的球体之间，此时r指的是这两个球心的距离。而向心力公式rvmF2中的r，对于椭圆轨道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径，开普勒第三定律kTr23中的r指的是椭圆轨道的半长轴。可见，同一个r在不同公式中所具有的含义迥异。[例1]如图1所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为1m和2m，相距为l，万有引力常量为G，求：（1）双星转动的中心位置；（2）转动周期。m1m2rO图1解析：（1）设双星转动的中心位置O距离1m为r，与两恒星中心的距离l不同2221)(rlmrmFF向引解得lmmmr212（2）在求第二问时更应注意距离和半径的区别，对恒星1m，由21221)2(TrmlmGm得转动周期为)(2213mmGlT[例2]飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图2所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。（已知地球半径为0R）.RBAR0图2解析：本题用开普勒第三定律求解比较简单，即所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，对于在圆周轨道上运行的行星其轨道的半长轴应该是圆半径，所以，当飞船在圆周上绕地球运动时，有23TRk，当飞船进入椭圆轨道运动时，有kTRR230)2(，由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期TRRRT3308)(，故解得飞船由A运动到B点所需的时间为TRRRt3308)(21。（二）自转周期和公转周期的区别自转周期是天体绕自身某轴线转动一周的时间，公转周期是卫星绕某一中心做圆周运动一周的时间。这两个周期一般情况下并不相等，如地球自转周期为24小时，公转周期为365天。但也有特殊情况，如月球的自转周期等于公转周期，所以它总是以相同的一面朝向地球。[例3]已知光从太阳射到地球需时间t，地球同步卫星的高度为h，地球的公转周期为T，自转周期为T。地球半径为R。试推导太阳和地球的质量的表达式。解析：设太阳质量为M1，地球质量为M2，地球同步卫星质量为m，则地球绕太阳做圆周运动，设轨道半径为r，则rTMrMGM22221)2(，而ctr（c为光速）所以2322321)(44GTctGTrM地球同步卫星绕地球做圆周运动，则)()2()(222hRTmhRmGM所以2322)(4TGhRM（三）同步卫星和一般卫星的区别任何一颗地球卫星的轨道平面都必须通过地心，由万有引力提供向心力，其高度、速度、周期一一对应。地球同步卫星相对于地面静止，和地球自转具有相同的周期，为24小时。它只能位于赤道上方km4106.3处，线速度为skm/08.3。一般卫星的轨道是任意的，周期、线速度可以比同步卫星的大，也可比同步卫星的小，线速度最大值为skmv/9.7，最小周期大约84min（近地卫星）。[例4]同步卫星离地心距离为r，运行速度为1v，加速度为1a，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为2a，第一宇宙速度为2v，地球半径为R，则（）A.Rraa21B.2221rRaaC.2221rRvvD.rRvv21解析：同步卫星和赤道上的物体的角速度相等，据ra2知Rraa21；第一宇宙速度是卫星贴近地面绕行时的速度，即近地卫星的速度，近地卫星和同步卫星都满足rGMv，所以rRvv21。本题答案为A、D。本例涉及三个物体：同步卫星、近地卫星、地球赤道上的物体。同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期；近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星的运动半径；三者的线速度各不相同。（四）稳定运行和变轨运动的区别卫星绕天体稳定运行时，由万有引力提供向心力rmvrGMm22，得rGMv，由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度v越小。当卫星由于某种原因使速度v突然改变时，2rGMmrmv2，运行轨道发生变化。若v突然变大，rmvrGMm22，卫星做离心运动；若v突然变小，rmvrGMm22，卫星做近心运动。注意不能通过rGMv判断卫星如何变轨，因为变轨过程中卫星的速度改变，但是待卫星再次达到稳定状态时，仍有rGMv成立。[例5]如图3，a、b、c是三颗在圆轨道上运行的卫星，则（）A.b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度B.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C.c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等侯同一轨道上的cD.a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，则其线速度将变大地球abc图3解析：b、c在同一轨道上运行，线速度大小、加速度大小均相等，又b、c轨道半径大于a轨道半径，由rGMv知，acbvvv，故A错。由加速度2rGMa知，acbaaa，故B错。当c加速时，它受到的万有引力cccrmvF2，它将偏离原轨道，做离心运动；当b减速时，它受到的万有引力为bbbrmvF2，它将偏离原轨道，做近心运动。所以C错。a卫星的轨道半径缓慢减小时，在较短时间内，可认为做稳定运动，由rGMv知，r逐渐减小时v逐渐增大，故D正确。（五）赤道上的物体和近地卫星的区别赤道上的物体在地球自转时受到两个力作用：地球对它的万有引力和支持力。这两个力的合力提供物体做圆周运动的向心力，即RmFRGMmN22，这里mgFN此时物体的向心加速度22/034.0smRa，远远小于地面上的重力加速度2/8.9smg，在近似计算中可忽略自转的影响，认为地面上物体的重力等于万有引力。绕天体运行的卫星只受万有引力作用，处于完全失重状态，故magmF。卫星的向心加速度a等于卫星所在处的重力加速度g。对近地卫星，有2/8.9smga。[例6]地球赤道上的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的（）A.ag倍B.aag倍C.aag倍D.ag倍解析：赤道上的物体随地球自转时，有maRmFRGMmN22，其中mgFN要使赤道上的物体“飘”起来，即变为近地卫星，则0NF，于是RmRGMm22所以aagvv，选项B正确。（六）卫星运行中受力和轨道问题人造卫星在绕地球运行时，只考虑地球对卫星的万有引力，不考虑其他天体（如太阳、火星等）对它的万有引力。人造卫星绕地球运行时的轨道圆心必须与地心重合，而且卫星在轨道上做圆周运动时地球对卫星的万有引力刚好等于卫星的向心力。[例7]可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（）A.与地球表面上某一纬度（非赤道）是共面同心圆B.与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是运动的解析：人造地球卫星做圆周运动的向心力是由地球对卫星的万有引力来提供，这个引力的方向是指向地心的，所以卫星运动的圆周的圆心一定要在地心上，因此其圆轨道与地球表面上某一纬度（非赤道）是共面同心圆是不可能的，故A选项错误，D选项正确；由于地球表面的经度是随着地球的自转而运动的，而卫星的运动轨道是固定的，所以B选项也是错误的；C选项描述的是地球同步卫星，轨道半径是确定值，相对地球是静止的，故本题正确的答案是CD。点评：在天体运行中，无论是近地卫星还是同步卫星，做圆周运动的向心力都是由地球对它的万有引力来提供的，这一点必须明确。（七）卫星的绕行速度、角速度、周期与半径r的关系1.由rmvrGMm22，得rGMv故r越大，v越小；2.由rmrGMm22，得3rGM故r越大，越小；3.由rTmrGMm2224，得GMrT324故r越大，T越大。[例8]火星有两颗卫星，分别为火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆，已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星（）A.火卫一距火星表面较近B.火卫二的角速度较大C.火卫一的运动速度较大D.火卫二的向心加速度较大解析：由万有引力提供向心力得rGMv，3rGM，GMrT324，2rGMa。可见r越大，v越小，越小，T越大，即转得越慢，因火卫二相对转得较慢，周期大，故线速度小、角速度小、向心加速度小，所以选A和C。点评：本题关键是从万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力入手，明确a、v、、T与轨道半径r的关系，再由周期大小，判断该题的正确答案。（八）人造卫星中的环绕速度和发射速度的问题由RmvRGMmmg22，得近地人造卫星的环绕速度RGMvskmgR/9.7。通常称为第一宇宙速度，也是人造卫星的最小发射速度。由rmvrGMm22，得不同高度处的人造卫星的环绕速度rGMv，其大小随半径的增大而减小。但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大。（九）人造卫星的变轨问题卫星绕地球稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由rmvrGMm22，得rGMv，由此可知，轨道半径r越大，卫星的线速度v越小，当卫星由于某种原因速度v发生改变时，受到的万有引力2rGMm和需要的向心力rmv2不再相等，卫星将偏离原轨道运动。当rmvrGMm22时，卫星做近心运动，其轨道半径r减小，由于万有引力做功，因而速度v越来越大。反之，当rmvrGMm22时，卫星做离心运动，其轨道半径r增加，速度v越来越小。[例9]在半径为r的轨道上做匀速圆周运动的卫星，它所具有的机械能为E，动能为kE，由于一种原因使它的速度突然增大，则当它重新稳定下来做匀速圆周运动时，有（）A.r增大，E增大，kE增大B.r增大，E增大，kE减小C.r减小，E增大，kE减小D.r减小，E减小，kE增大解析：v增大时，说明外界对其做正功，故它的机械能E增大，卫星将表现离心现象，轨道半径将增大，万有引力做负功，动能减小，势能增大，故应选B。点评：卫星的运动分为稳定和不稳定运行，当其所受的万有引力不刚好提供向心力时，其速度和半径就要发生变化，引力要做功，这为不稳定运行；而当所受的引力刚好提供向心力时，它运行的速度、轨道半径确定不变而做匀速圆周运动，这种状态称为稳定运行。对于稳定运行，应从rmvrGMm22入手，应用匀速圆周运动知识分析；对于不稳定运行的卫星问题（变轨问题）应从做功、能量转化的角度去分析处理。（十）同步卫星问题相对地面静止的卫星为地球同步卫星，又称通讯卫星。同步卫星的周期为地球自转的周期，即24T小时，其轨道一定在赤道平面内，高度h一定，3224GMThRkm4106.3。所以同步卫星都位于同一轨道的不同位置上。[例11]用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，0R表示地球的半径，0g表示地球表面处的重力加速度，0表示地球自转角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为（）A.等于零B.等于20020)(hRgmRC.等于340020gRmD.以上结果都不对解析：通讯卫星所受万有引力的大小