通江中学高2007级第四学期中期考试数学试题(理)

通江中学高2007级第四学期中期考试数学试题（理）（120分钟完卷，总分150分）命题者：徐荣德一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1．经过空间任意三点的平面（）A只有一个B有二个C有无数多个D只有一个或有无数多个2．在正多面体中没有（）A正六面体B正八面体C正十二面体D正十六面体3．由0，1，2，3组成的无重复数字的四位数一共有（）A6个B18个C24个D28个4．已知α，β是平面，m、n、l是直线.下列命题中不正确的是（）A若m∥n，m⊥α，则n⊥αB若lnlm,，则m∥nC若m⊥α，m⊥β，则α∥βD若m⊥α，m，则α⊥β5、在正方体1111DCBAABCD中，点P为棱AB上的一动点，则DA1与PD1所成的角为（）A随点P的变化而变化B45°C60D906、若55105)2(xaxaax，则521aaa=（）A31B1C－1D－317、在三棱柱的9条棱中异面直线共（）A36对B24对C12对D6对8、先后抛掷2枚均匀的硬币，出现“一枚正面，一枚反面”的概率是（）A31B41C21D329．某人射击1次，命中目标的概率是0.6，他连续射击若干次，若规定命中目标两次后便停止射击，则此人射击3次后停止射击的概率是（）A0.432B0.288C0.144D0.09610．学校高中二年级新来了4名同学，要把这4名同学分到高二的1、2、3班3个班去，每班至少1人，不同的分法共有（）A72种B36种C24种D12种11．如图，在正三棱锥BCDA中，E、F分别是AB、BC的中点，且DEEF，若aBC，则正三棱锥BCDA的体积为（）A3122aB3123aC3242aD3243a12．正方形ABCD的边长为6cm，点E在AD上，且AE＝13AD，点F在BC上，且BF＝13BC，把正方形沿对角线BD折成直二面角A－BD－C后，则EF＝（）A．27cmB．215cmC．26cmD．6cm二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、设地球半径为R，在南纬30°圈上有A、B两点，这两点的经度差为π，则A、B两点的球面距离为；14．已知nxx)21(2的展开式中第二项与第九项的二项式系数相等，则nxx)21(2的展开式中9x的系数是；15．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有种（用数字作答）；16．在正方形DCBAABCD中，过对角线DB的一个平面交'AA于E，交CC于F，则①四边形EDBF一定是平行四边形②四边形EDBF在底面ABCD内的投影一定是正方形③四边形EDBF有可能是正方形④四边形EDBF有可能垂直于平面DDBB以上结论正确的为。（写出所有正确结论的编号）FCBAED通江中学高2007级第四学期中期考试数学答题卷一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案二、填空题（每小题4分，共16分）13、；14、；15、；16、。三、解答题：（本大题共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）17、（12分）有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）女生2人男生3人；（2）男生甲必须包括在内，但不担任数学科代表。18、（12分）已知正方体1111DCBAABCD的棱长为2，E是11CD的中点。（1）求直线AE与平面ABCD所成的角；（2）求异面直线AD与CB1间的距离。班次考号姓名D1A1B1C1DABCE19、（12分）已知：甲袋中有3个黑球，2个白球；乙袋中有4个黑球，3个白球.（1）从甲袋中任意取出两个球，求取得一黑球一白球的概率；（2）从乙袋中任意取出三个球，求至少取得两个黑球的概率；（3）从甲、乙两袋中分别取出一个球，求取得一黑球一白球的概率.20、（12分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为32，乙每次击中目标的概率21。（1）求甲恰好击中目标1次的概率；（2）求乙至少击中目标1次的概率；（3）求乙恰好比甲少击中目标2次的概率．21、（12分）如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，90ACB,AA1＝4，点D是AB的中点，（1）求证：AC1//平面CDB1；（2）求异面直线AC1与B1C所成角．C1CA1C1DBB1A22.(14分)在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M、N分别为AB、SB的中点。（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角N-CM-B的大小；（3）求点B到平面CMN的距离。通江中学高2007级第四学期中期考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DDBBDACCBBCA二、填空题（每小题4分，共16分）13、32R；14、－221；15、24；16、①②④。三、解答题：（本大题共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。）17、解：(1)3600553523ACC（种）；（6分）(2)441447AAC3360（种）。（12分）18．（1）552arctan（6分）（2）2（12分）19．解：（1）从甲袋中任取两球的总数为C52=10，取得一黑一白的总数为C31·C21=6，所求的概率为P1=106=53.（4分）（2）从乙中任取三球，至少取得两个黑球的概率352237343713242CCCCCP。（8分）（3）甲袋中任意取出黑球的概率为53，取出白球的概率为52；乙袋中取出黑球的概率为74，取出白球的概率为73.因此所求概率P3=53·73+52·74=3517.（12分）20．解：（1）甲恰好击中目标的1次的概率为92)321(32)1(2133CP；（4分）（2）乙至少击中目标1次的概率为87)211(1)0(133Pp；（8分）（3）设乙恰好比甲少击中目标2次为事件A，乙恰击中目标0次且甲恰击中目标2次为事件B1，乙恰击中目标1次且甲恰击中目标3次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．61)32()211(21)321()32()211()()()(333213223321CCCBPBPAP.所以，乙恰好比甲少击中目标2次的概率为16.（12分）21．解法一：（1）连结CB1与C1B相交于E，连结DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1，∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；（6分）（2）∵DE//AC1，∴∠CED（或其补角）为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=21AC1=25，CD=21AB=25，CE=21CB1=22，∴822cos552222CED，∴异面直线AC1与B1C所成角的为arccos225.（12分）解法2：（向量法）略22、解法一：（1）取AC中点D，连结SD、DB。∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（4分）（2）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=21SD=2122ADSA=21412=2，且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=41MB=21，在Rt△NEF中，tan∠NFE=EFEN=22，∴二面角N-CM-B的大小是arctan22.（10分）（3）在Rt△NEF中，NF=22ENEF=23，∴S△CMN=21CM·NF=233，S△CMB=21BM·CM=23.设点B到平面CMN的距离为h，∵VB-CMN=VN-CMB，NE⊥平面CMB，∴31S△CMN·h=31S△CMB·NE，∴h=CMNCMBSNES=324.即点B到平面CMN的距离为324.（14分）解法二：（1）取AC中点O，连结OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，23，0），C（-2，0，0），S（0，0，22），M(1，3，0)，N(0，3，2).∴AC=（-4，0，0），SB=（0，23，22），∵AC·SB=（-4，0，0）·（0，23，22）=0，∴AC⊥SB.（2）由（Ⅰ）得CM=（3，3，0)，MN=（-1，0，2）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则02033zxyx取z=1，则x=2，y=-6，∴n=(2，-6，1)，又OS=(0，0，22)为平面ABC的一个法向量，∴cos(n，OS)=||||OSnOSn=31.∴二面角N-CM-B的大小为arccos31.（3）由（1）（2）得MB=（-1，3，0），n=（2，-6，1）为平面CMN的一个法向量，∴点B到平面CMN的距离d=|||·|nMBn=324.