数学高考模拟试题

数学高考模拟试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．设全集U＝R，集合}01|{xxA，集合}02|{2xxB，则集合为（）．A．2|{xx，}2x或B．2|{xx，}1x或C．}21|{xxD．}12|{xx2．在下列函数中，值域是（0，＋∞）的函数是（）．A．151xyB．xy21C．1)21(xyD．xy1)31(3．已知直线900yyxx与圆922yx无公共点，则点),(00yxP一定（）．A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．都有可能4．若π22π3，54cos，2tan则的值是（）．A．31B．31C．-3D．35．函数2π30(cos|tan|xxxy，且)2πx的图象为（）．ABCD6．等差数列}{na与等比数列}{nb满足：011ba，55ba，则3a与3b的大小关系是（）．A．33baB．33baC．33baD．33ba7．直线l是双曲线)00(12222babyax，的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆被直线l分成弧长为2比1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（）．A．3B．5C．26D．28．设函数f（x）的定义域为R，最小正周期为π23，若)(xf)π0(cos)02π(sinxxxx，，则)π415(f的值为（）．A．0B．1C．22D．229．如图，在正四面体S-ABC中，E、F分别是SC、AB的中点，则直线EF与SA所成的角为（）．A．90°B．60°C．45°D．30°10．定义在实数集R上的偶函数)(xfy满足)4()2(xfxf，且在区间1[，]0上单调递增，设)2()3(fbfa，，)2(fc，则a、b、c的大小关系是（）．A．cbaB．bcaC．acbD．abc11．对于函数)0()(2acbxaxxf，作)(thx的代换，则总不改变函数)(xf的值域的代换是（）．A．tth10)(B．tth2log)(C．2)(tthD．tthsin)(12．在轴截面为直角三角形的圆锥内有一个内接圆柱，已知此圆柱的全面积等于该圆锥的侧面积，则该圆锥顶点到圆柱上底面的距离是圆锥母线长的（）．A．41B．31C．21D．32二、填空题（每小题4分，共16分）13．如果抛物线)1(2xay的准线方程是x＝-3，那么这条抛物线的焦点坐标是________．14．圆锥轴截面的顶角为120°，过顶点的截面三角表面积的最大值为2，则圆锥的侧面积是________．15．从1到10这10个自然数中任取3个互不相邻的自然数的取法总数是________．16．某工厂产值连续三年持续增长，已知年平均增长率P，若这三年的增长率分别为1x、2x、3x，则321xxx的最小值是________．三、解答题（第17~21题每题12分，第22题14分，共74分）17．已知集合}0)1)(7()2)(4(|{xxxxxM，集合}032|{axaaxxN，，求集合．}|{NMaT18．在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＋b＝10，35c，（1）求证：C不大于120°；（2）若△ABC外接圆的直径为10，求)cos(BA的值．19．已知线段PA矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）当二面角A-CD-P为45°时，求证：MN⊥平面PCD；（3）在满足（2）的条件下，若AB＝4，AD＝2，求四棱锥N-ABCD的体积．20．有一个湖泊，上游一河道每天向该湖流入31500m的水，流入的水中含有某种不能自然分解的污染物质．与该湖联通的另一河道每天向下游流出的水也是31500m，湖水始终保持在200万3m．现假设湖水蒸发和下雨恰好平衡，该污染物与湖水能均匀混合，并测得湖水中该污染物的浓度已达到0.2克/3m．后来，由于上游治理了污染源，流入湖中的水已不再含有该污染物．（1）试求上游污染中止后n天，湖水中该污染物的浓度；（2）欲使湖水该污染物的浓度不超过0.05克/3m的标准，若不采取其他治污措施，湖水需要多少天才能达标？（00.3012lg，)6017.0997.3lg21．已知椭圆)0(12222babyax的焦距为2c，左准线为l，长轴顶点为1A、2A，过椭圆上任意纵坐标非零的点P作直线1PA与2PA分别交l于M、N两点．（1）试问在线段OA1（O为原点）上是否能找到一点Q，使得对于上述的点P，MQN恒为直角，若能，求出点Q的坐标；若不能说明理由；（2）如图，设直线NR与椭圆交于点B，与y轴交于点C，当直线PN的斜率为aac时，点B恰为线段RC的中点，求此椭圆的离心率．22．已知二次函数cbacbxaxxf，，()(2R）满足0)1(f，对任意实数x，都有xxf)(，且20x时，总有2)21()(xxf．（1）求)1(f；（2）求a，b，c的值；（3）当1[x，]1时，函数mxxfxg)()(（mR）是单调函数，求m的取值范围．参考答案1．C2．D3．A4．A5．C6．C7．D8．D9．C10．D11．B12．C13．（1，0）14．π3215．38C＝5616．3P17．12|{xxM，或}74x，又ax22)3(40033xaaxaxxaxa，，或，，003axxaaxaxax903，，或03xax，（以上a＜0）axa39或0903xaxa，所以}09|{xaxN；NM，所以19a，即91a，所以}91|{aaT18．（1）由余弦定理：ababcbaabcbaC22)(2cos22222122522)35(1022ababab，由已知a＋b＝10，52baab，ab≤25，则21225ab，21cosC，因为0°＜C＜180°，所以C≤120°，即C不大于120°．（2）由正弦定理：CcBbAasinsinsin＝2R＝10，得10sin35C，23sinC，C＝60°，或C＝120°，1101010sinsinbabaBA，12cos2sin2BABA，当C＝60°，A＋B＝120°，代入得：332cosBA，2cos2)cos(2BABA311，当C＝120°时，A＋B＝60°212sinBA，12cosBA，1)cos(BA19．（1）取PD的中点E，连接AE、EN，因为ENDC21，而DC21AM，所以ANME为平行四边形，MN∥AE．则MN∥平面PAD．（2）PA矩形ABCD所在的平面，故PACD，又ABCD为矩形，则ADCD，所以CD平面PAD，AECD，AE∥MN，CDMN，因为DCAD，DCPD，则PDA是二面角A-CD-P的平面角，PDA＝45°，△PDA为等腰直角三角形，又E是斜边PD的中点，PDAE，则PDMN，已证PDMN，可得MN平面PCD．（3）连AC，取AC中点O，连ON，则ON∥PA，且PAON21，又PA＝AD＝2，则ON＝1，PA平面ABCD，故ON平面ABCD，即NO为四棱锥N-ABCD的高，)cm(3842131313ABCDABCDNSNOV矩形20．（1）上游污染中止n天后，湖水中污染物浓度为na，则可建立关系式：)15002000000(20000001nnaa，则400039971nnaa，又0a＝0.2克/2m，所以nna)40003997(20．n()*N（2）设050．na，即0．2×050)40003997(．n，则4000lg3997lg4lg41log40003997n20072lg2997.3lg4lg（天）21．（1）当点P运动到特殊位置（0，b）时，直线2PA的方程为bx＋ay＝ab，求得caN2(，))(cacb，同法求得caM2(，))(cacb，设0(xQ，)0，02)(xcacacbkMQ，02)(xcacacbkMQ由1NQMQkk解得cx0，推测：椭圆的左焦点F（－c，0）满足条件．证明：设椭圆上任意一点)(00yxP，，)0(0y椭圆的左焦点为F（-c，0），则直线2PA的方程为：)(00axaxyy，令cax2，求得点N的坐标为caN2(，))()(00axcycaa，又直线1PA的方程为：)(00axaxyy，令cax2，求得点M的坐标为caM2(，))()(00axcycaa，则直线MF的斜率))((00axcaaykMF，直线NF的斜率))((00axcaaykNF，))(())((0000axcaayaxcaaykkNFMF))((22022202axcaya22202202baxbya．因为点0(xP，)0y在椭圆上，则22202202bayaxb，即20222202xbbaya，所以1222022022222202022baxbxbbabaxbyakkMFNF，所以MFNF，即MFN恒为直角（Q与F重合）．（2）直线2PA的方程为)(axaacy，求得caN2(，)2cb，且Q与F重合．直线BN的斜率102222cbcbccacbkBN，所以直线BN的方程为)(cxy，点C的坐标为（0，-c），因为B是CF中点，则点B的坐标是2(cB，)2c，把点B的坐标代入到椭圆方程中得：222244bcac1，即1)(4422222cacac，整理得：)10(046224eee，22062e，或22062e（舍去），所以2210e22．（1）)(xf对任意实数x，都有xxf)(，所以1)1(f，又)(xf在20x时，有2)21()(xxf，故1)211()1(2f，因此有1)1(f．（2）因为1)1(f，0)1(f，则2101bcbacba，，21ca，因为acca2，则161ac（当且仅当41ca时取等号）．又因为对任意实数x，都有xxf)(，所以0)1(2cxbax恒成立，即0212cxax恒成立，，，0441000acaa故0a且161ac，因此有161ac，从而41ca．（3）41)21(41412141)()(22xmxmxxxmxxfxg241x41)21(21xm，)(xg的对称轴是12mx，因为mxxfxg)()(（mR）在1[，]1上是单调函数，所以11|12|mm或0m